differentialekvationer - medicin

Man får anta att sönderfallet är proportionellt mot mängden medicin, d.v.s

y' = -k*y

Det är dock lite lurigt att veta om 

"Kroppen bryter ned medicinen med 75% per dygn." 

betyder att 

y(1) = (1 - 0.75)*y(0)

med tiden i dygn, eller

y' = -0.75*y

(Vad är skillnaden och vad har antagits i de båda fallen?)

Mängden medicin kommer även in i diskreta doser (?) på 100 mg i taget, så tidsförloppet som är lösningen till diffekvationen ovan gäller mellan intagen av ny medicin.

kan du förklarar lite mer?   

nu kommit jag till ett svar i a.

differentialekvation y´ + 0,75y = 100 Samt y(0)=250

Är det rätt??

Någon annan hjälpare får gärna ta över tråden då jag inte har möjlighet att skriva bra svar på ett par dagar.

Jag utgår från att meningen är att patienten skall ta en tablett om dagen, först en på 250 mg, sedan 100 mg/tablett. När det har gått lång tid, kommer det att inställa sig en jämvikt. Varje dag kommer det att brytas ner 75 % av vad som fanns i kroppen precis efter att man har tagit en tablett, och det är 100 mg. Tänk dig att det finns a mg i kroppen alldeles innan man tar en tablett. Då finns det a+100 mg alldeles efter att man har tagit tabletten. Nästa dag finns det återigen a mg i kroppen alldeles innan man tar nästa tablett. Kan du beräkna a? (Det räcker med Ma1-kunskaper för detta.)

Det verkar orimligt att de dagliga 100 milligramen ska intas på en gång. Dels skulle det bli en ganska konstig okontinuerlig "sågtandsfunktion" som lösning på differentialekvationen och sedan blir det otydligt hur man ska svara på b-uppgiften eftersom det blir olika svar beroende på när medicinen intas. Efter ett dygn borde ju betyda ett dygn efter den första tabletten tas, och då är det otydligt om man ska räkna med den nya 100mg-tabletten (som bör ha tagits i samma ögonblick).

Jag tror istället det är rimligare att medicinen intas kontinuerligt över ett dygn (kanske via dropp), eftersom det då inte blir konstiga okontinuerliga funktioner och inte heller tvetydigt om man ska räkna med den nya tabletten eller inte.

Man kan dock undra om den ursprungliga 250mg-mängden intas kontinuerligt eller inte. För att undvika problematiken med okontinuerliga funktioner tror jag att denna mängd intas direkt, eftersom mängden medicin då kan mätas med en snäll kontinuerlig funktion.

Resonerar man på detta sätt får man mycket riktigt ekvationen $y\text{'}=-0,75y+100$ med villkoret $y\left(0\right)=250$

Det är väldigt vanligt att man intar sin medicindos en gång om dagen, om det terapeutiska fönstret är tillräckligt brett för att man skall ha maximalt tillåten dos i kroppen just när man jar tagit sin dos, och när det är dags för nästa dos har koncentrationen sjunkit till lägsta tillräckliga dos. Det är väldigt vanligt att mediciner inte tillförs kontinuerigt utan via tabletter (för tillfället tar jag penicillin tre gånger om dagen mot borrelia).

Frågan är väldigt otydligt skriven, så det är nästan omöjligt att göra samma antaganden som vad uppgiftskonstruktören har gjort (särskilt om man inte har facit och kan räkna ut förutsättningarna baklänges!).

jag tror också att det här är en kontinuerlig funktion, eftersom vi har inte läst om hur man lösa såna frågor med okontinuerlig funktion, samt det här fråga står på C-nivå då skall vara inte så svårt.

men nu om vi säger att ja differentialekvation är y´=-0,75y + 100,

då b. uppgiften är y=116,7e^-0,75t + 133,33

så när t= 1

är y=188,4 mg

men c. uppgift fattar jag ej frågan. kan ni hjälpa mig med den??

@Smaragdalena

Det är jag väl medveten om, men jag tror inte att skaparen av en matematikuppgift tar särskilt stor hänsyn till hur man inom vården vanligtvis medicinerar. Sådana detaljer kanske inte är så jätteviktiga i detta sammanhang, men vad som är viktigt är att skapa en uppgift som går att tyda utan diverse rimlighetsbedömningar, något som uppgiftsmakaren misslyckats fatalt med i detta fall. :-)

Jag tycker dock ändå att tolkningen som jag beskrev är rimligast eftersom man får en ganska snäll differentialekvation.

EDIT:

@Reem98

Undersök funktionen du får fram. Planar den av mot något värde?

Om du ändrar dosen, vad händer då med funktionen?

så innebär det att vi får differentialekvation y´=-0,75y+250 ??

Alltså jag fattade inte fråga riktig