Differentialekvationer
Hej, har fastnat på denna uppgift:
Kalle är inblandad i en arbetsplatsolycka där han råkar inandas skadliga ångor från ett kemiskt preparat.Det dröjer ganska länge innan Kalle uppsöker ett sjukhus och inte förrän 20 timmar efter olyckas tas ett blodprov. Analysen visar att blodet innehåller 0,00372 mg/ml av det gift som han inandats.Efter ytterligare 8 timmar tas ett nytt blodprov och då har koncentrationen gift i blodet sjunkit till 0,00219 mg/ml.Låt oss anta att förändringshastigheten för giftkoncentrationen är proportionell mot koncentrationen och låt y mg/ml vara koncentrationen av gift i blodet t timmar efter det första blodprovet.
Läkaren vill ge medicinsk behandling om giftkoncentrationen vid något tillfälle varit större än 0,017 mg/ml. Finns det enligt modellen någon risk för att giftkoncentrationen i Kalles blod varit så hög?
Mina tankar är att man ska teckna en funktion som är sådan att eftersom giftkoncentrationen är proportionell mot koncentrationen, blir det:
y'=-ky
y'+ky=0 med två villkor, där den ena är (8)=0.00219
1. Jag undrar om det ska vara villkoret y(0)= 0.00372 eller y(20) = 0.00372?
2. De vill veta om halten någon gång blivit större än 0.017, hur ska man då göra när man har tagit fram funktionen. Ska man derivera och hitta maxpunkt?
1. Spelar ingen roll, utan beror på om du definierar t som antalet timmar efter olyckan eller antal timmar efter första blodprovet. Jag skulle välja t som antal timmar efter olyckan och därmed y(20) = 0.00372
2. Om y(t) någon gång var större än 0.017 så betyder det att det finns t-värden (i definitionsmängden) som gör att y(t) > 0.017 vilket enklast undersöks genom att se om y(t) = 0.017 har en lösning i definitionsmängden.
Dvs man löser bara y(t) = 0.017 och om det finns en lösning t_0 så var halterna högre än 0.017 innan denna tidpunkt.
