differentialekvationer
Frågan lyder:
I en stad någonstans i norra sverige bor det 100 000 människor. antalet födslar och dödsfall gör att befolkningsökningen varje år är 0,1% av antalet människor som bor i staden. till följd av minskade arbetstillfällen flyttar varje år 500 människor från staden. skapa en matematisk modell för hur befolkningen utvecklas i staden och beräkna med hjälp av denna modell hur lång tid det tar för befolkningen i staden att minska med 10 000 människor.
Hur ska jag börja?
Kalla antalet innvånare för exvis y,
Fösök skapa ett uttryck för den årliga förändringen av innvånarantalet, dvs y’
jag har nu gjort såhär men jag har ingenaning om det är rätt? kan du hjälpa mig snälla
Den ursprungliga populationen (t=0): P₀ = 100,000
Årlig befolkningsökningstakt: r = 0,1 % = 0,001
Antal personer som flyttar ut per år: M = 500
Befolkningen vid tidpunkt t= P(t).
Befolkningen vid tidpunkt t kan beräknas med hjälp av formeln:
P(t) = P₀ + (P₀ * r) - M
Vi kan nu använda denna formel för att beräkna den tid det tar för befolkningen att minska med 10 000 personer.
vi löser t:
P(t) = P₀ + (P₀ * r) - M
P(t) = P₀ - 10 000
Substituera uttrycken för P(t) och förenkla:
P₀ + (P₀ * r) - M = P₀ - 10 000
Ytterligare förenkling:
P₀ * r - M = -10 000
Låt oss nu lösa t:
P₀ * r - M = -10 000
P₀ * r = -10 000 + M
t = (-10 000 + M) / (P₀ * r)
Genom att sätta in de givna värdena:
P₀ = 100,000
r = 0.001
M = 500
t = (-10,000 + 500) / (100,000 * 0.001)
t = -9,500 / 100
t ≈ 95
Det ska bli en differentialekvation
om du kallar befolkningen för P är förändringen dP/dt vilket också skrivs som P’.
Vad är P’ ? Försök använda data från uppgiften för att beskriva P’ !
Kan du snälla bara skriva hur du skulle gjort uppgiften
Det är ju det jag gjort, men du får anstränga dig och försöka följa mina förslag.
Men kan du skriva dina steg och förklara dem?
