differentialekvationer.

uppgiften är "betrakta differentialekvationen"

$2 x y * u'_{x} - (2 x + y^{2}) u'_{y} = 0$
a) visa att $u (x, y) = f (x^{2} + x y^{2})$ löser differentialekvationen

b)fin x > 0 en lösning u till differentialekvationen sådan att u = x då y = 0.

jag löste a uppgiften utan problem men när det kommer till b uppgiften så har jag ingen aning hur jag ska hitta en sådan funktion u. tycker inte boken förklarar det så bra.
jag har försökt lite olika utan att komma fram till något vettigt, känns som att jag inte har någon aning om vad jag egentligen gör på b uppgiften.

Ta exempelvis:

$u(x,y) = \sqrt{x^2+xy^2}$

För $x>0$ och $y=0$ har du:

$u(x,y) = x$

Sedan ska du säkert addera en $g(y)$ som är $g(0)=0$ eller något.

okej men att du tar t.ex $u (x, y) = \sqrt{x^{2} + 2 x y^{2}}$ , det är bara nått man ska kunna se eller kan man göra en beräkning för att välja u(x,y)? eller kan man bara ta vilken ekvation som helst som uppfyller att u = x då y = 0, x > 0?

Det står inget annat än att den ska vara en funktion av $f(z=x^2+xy^2)$ följt av de där kriterierna. Jag såg direkt ett alternativ och det kanske är det enda som finns, jag vet inte.

Man kan ju testa lite olika standard:

$f(z) = z$

$f(z) = z^2$

Etc.

Men man ser att vi kan gå bakifrån som:

$u(x,y=0) = f(x^2+x\cdot 0) = x$

Vi ser att det bara finns en funktion som uppfyller ovan och det är $f(x^2) = \sqrt{x^2}=|x|$ . Där det alltså krävs att $x>0$ för att $|x|=x$ .

ah okej :) jag förstår nu. löste uppgiften :)

Svara

Visa senaste svar