Differentialekvationer

Hej!

Du skall ansätta den första versionen, dvs. $y\left(x\right)=a\sin\left(3x\right)+b\cos\left(3x\right)$, eftersom ditt andra förslag är lika med det första förslaget. Det kan du ser genom att $a\sin\left(3x\right)-d\sin\left(3x\right)=\left(a-d\right)\sin\left(3x\right)$. Men eftersom $a-d$ bara är en konstant som skall bestämmas kan du lika gärna bara kalla den för $a$.

Sen ska du inte behöva gissa dig fram till värdena på $a$ och $b$. Det du gör är att du sätter in din ansats i differentialekvationen, och sen ska vänsterledet vara lika med högerledet för alla $x$. Alltså kommer du antagligen att få ett ekvationssystem för $a$ och $b$.

Jag har kommit fram till detta...

"y’’-2y’+3y=6sin(3x)-6cos(3x)

I differentialekvationen testar jag att sätta in 

y=asin(3x)+bcos(3x)=

y’=3acos(3x)-3bsin(3x)=

=-3(bsin(3x)-acos(3x))

y’’=-3(3asin(3x)+3bcos(3x))=

=-9(asin(3x)+bcos(3x))

Då får jag:

(-9(asin(3x)+bcos(3x)))-2(-3(bsin(3x)-acos(3x)))+3(asin(3x)+bcos(3x))=

=6sin(3x)-6cos(3x)

Sedan bestäms a och b med hjälp av algebraisk metod. 

6sin(3x)-6cos(3x)=HL=

=(-9(asin(3x)+bcos(3x)))-2(-3(bsin(3x)-acos(3x)))+3(asin(3x)+bcos(3x))=

-9asin(3x)+-9bcos(3x)-6bsin(3x)+2acos(3x)+3asin(3x)+3bcos(3x)=

=-6asin(3x)-6bcos(3x)-6bsin(3x)+2acos(3x)=

=(-6a+6b)sin(3x)+(2a-6b)cos(3x)

(-6a+6b)sin(3x)+(2a-6b)cos(3x)=6sin(3x)-6cos(3x)   

Jag antar att a=0 och b=1 och stoppar in det i ekvationen:

(-6(0)+6(1))sin(3x)+(2(0)-6(1)cos(3x)=

=6sin(3x)-6cos(3x)=HL

Därefter verifieras resultatet; a=0 och b=1 sätts in i ekvationen:

(-9((0)sin(3x)+(1)cos(3x)))-2(-3(1)sin(3x)-(0)cos(3x)))+3((0)sin(3x)+(1)cos(3x))=-9cos(3x)+6sin(3x)+3cos(3x))=

=-6cos(3x)+6sin(3x)=

=HL

Värdena sätts in i den antagna lösningen y=asin(3x)+bcos(3x):

Alltså y_p=0sin(3x)+1cos(3x)

Sedan beräknas värdet på r i den karaktäristiska ekvationen för y’’-2y’+3y, 

alltså r²-2r+3=0:

Pq-formeln används…

r=1±√((1)²-3=

=r=1±√(1-3)=

=r=1±√(-2)"

Stämmer det jag har beräknat? Jag undrar sedan hur jag skriver den homogena lösningen med 1±√(-2)?

Du kan inte ta roten ur negativa tal.

Sätt upp realdelen på ett e och im-delar blir sin/cos, så e^1x*(Asin(rot(2)x)+Bcos(rot(2)x))

Jag förstår inte riktigt vad du menar? Det var ett tag sedan jag läste om komplexa tal. Kan du skriva det som tal istället för ord? 

Jag skrev ju ut hela svaret? Realdelen i dina rötter är 1 och imaginärdelen +-rot(2). Ser du vart de är instoppade?

Blir det alltså Y_h=e^1∙x*^{(asin(√(2)∙x)+bcos(√(2)∙x)}? Är det så att när jag får ett imaginärt tal när jag beräknar rötterna så ska jag sätta in det som y_h=e^{real∙x*(asin(imaginär∙x)+bcos(imaginär∙x)}? Och om det som i detta fall är ett negativt tal under rottecknet så ska jag skriva det som positivt i denna formel? Jag kan se vart real-och imaginärdelen är instoppade :)

Den stora parentesen med sin och  cos är inte upphöjd, men annars ja. Komplexa lösningar kommer alltid i par om själva ekvationen är reell, så du behöver aldrig bry dig om tecken där. Det blir samma lösning om du hade bytt till -rot(2), men med andra A och B bara.

Det hela är en omskrivning av e^(x+rot(2)ix)=e^x*e^(rot(2)ix) där den andra faktorn är omskriven med eulers formler så det följer egentligen samma mönster som vanliga rötter.

Angående roten så skriver man inte roten ur om det är negativt, ta bort minuset och ta roten gånger i istället direkt.

Okej nu tror jag att jag är med! Jag behövde verkligen en påminnelse om komplexa tal för denna uppgift, tack så mycket.

Jag har skrivit såhär nu...

Stämmer det?

I princip.

Om man ska vara petig så behöver du ha med båda rötter när det står på e-form, och konstanter framför, precis som du hade ställt upp det reellt.

H i yh står för homogen lösning. Den allmänna är y=yh+yp

Sen brukar man kalla det förenkling när man tar bort 0 och *1, men det kanske är någon typ av algebraisk metod 🤔

Alltså  y=e^x*(asin(√(2)∙x)+bcos(√(2)∙x)+e^x*(asin(-√(2)∙x)+bcos(-√(2)∙x)? 🤔 Eller vad menar du med att båda rötterna på e-form?

...

Eller menar du bara att jag skriver om det till  y=Ae^x∙sin(√(2)∙x)+Be^x∙cos(√(2)∙x)+cos(3x)?

Ce^(1+2i)x + De^(1-2i)x