Differentialekvationer

Jag började också nyss med MA5 FY3, men, så mycket som jag förstår det, sätt, VL=0. 

Har fått fram att den homogena ekvationen måste vara C1e^-2x + C2 men i facit står det att y= C1e^-2x + (x^3/6) + (3x/2) + C2

Kan någon förklara hur de får partikulärlösningen till (x^3/6) + (3x/2)

Derivera partikulärlösningen två gånger så ser du om det stämmer! 

Partikulärlösningen bör vara ett tredjegradspolynom då VL inte innehåller y och HL är ett andragradspolynom.

En alternativ lösning är att sätta

u = y' (eftersom y inte ingår)

och lösa två diffekvationer av första ordningen.

Dr. G skrev :

Derivera partikulärlösningen två gånger så ser du om det stämmer! 

Partikulärlösningen bör vara ett tredjegradspolynom då VL inte innehåller y och HL är ett andragradspolynom.

En alternativ lösning är att sätta

u = y' (eftersom y inte ingår)

och lösa två diffekvationer av första ordningen.

Tack jag tror att jag förstår hur du menar. Jag antar att Yp= ax^2 +bx +c vilket medför att y'p= 2ax + b. Sätter sedan att u=y' och får då u'+2u = x^2 + x +3. Därefter sätter jag in värdet på Yp och Y'p i ekvationen och bestämmer värdet på konstanterna. Då får jag att a=0,5, b=0 och c=1,5. Sedan borde det väl bli så att Y'p = 0,5x^2 + 1,5. Sedan borde Yp= (x^3/6) + 1,5x. Tänker jag rätt?

Känns dock fel att Y’p hamnar på två olika ställen eftersom de båda betyder olika saker enligt ovan. Y’p= 2ax +b är inte samma sak som y’p = 0,5x^2 + 1,5

Erika1267 skrev :Jag antar att Yp= ax^2 +bx +c vilket medför att y'p= 2ax + b.

Tänker jag rätt?

Om y hade förekommit i vänsterledet hade det varit en bra ansats.

Nu är det bara första- och andraderivator där, så din y'p är det förstagradspolynom du har skrivit och y''p är en konstant.

Ansätt ett tredjegradspolynom i stället.

Hej!

Inför funktionen $u(x) = y'(x)$ så att differentialekvationen av andra ordningen för funktionen $y$ blir en differentialekvation av första ordningen för funktionen $u$.

    $u'(x) + 2u(x) = x^2+x+3\ .$

Multiplicera ekvationen med det integrerade faktorn $e^{2x}$ vilket ger differentialekvationen

    $(u(x)e^{2x})' = x^{2}e^{2x} + xe^{2x} + 3e^{2x}\ .$

Integrera ekvationens båda led och glöm inte att ta med integrationskonstanten, som representerar differentialekvationens homogena lösningar.

    $u(x)e^{2x} = C_{0} + \int x^2e^{2x}\,\text{dx} + \int xe^{2x}\,\text{d}x + 3\int e^{2x}\,\text{d}x\ .$

Bestäm de tre primitiva funktionerna:

• $\int x^2e^{2x}\,\text{dx} = \frac{e^{2x}}{4}(2x^2-2x+1)$
• $\int xe^{2x}\,\text{d}x = \frac{e^{2x}}{4}(2x-1)$
• $\int e^{2x}\,\text{d}x = \frac{e^{2x}}{2}\ .$

Det ger dig lösningarna till den första ordningens differentialekvation

    $u(x) = C_{0}e^{-2x} + \frac{1}{4}(2x^2-2x+1) + \frac{1}{4}(2x-1) + \frac{3}{2}\ .$

För att få lösningen ($y$) till den andra ordningens differentialekvation ska du integrera funktionen $u\ .$

    $y(x) = C_{2} + C_{1}e^{-2x} + \frac{1}{12}(2x^3-3x^2+3x) + \frac{1}{4}(x^2-x) + \frac{3}{2}x\ .$

Samla ihop termer av samma ordning.

    $y(x) = C_2+C_2e^{-2x}+\frac{1}{6}(x^3 +9x)\ .$

Albiki