Differentialekvationer

Kan man utnyttja att dz/dx=dz/dy*dy/dx?

Skriv om uttrycket dz/dx=(dz/dy)(dy/dx) så hjälper det att börja med att beräkna dz/dy

Jag kanske är ute och cyklar men jag får det till $\frac{dz}{dx}=4y*\frac{dy}{dx}$

Kan man sedan stryka dx?

och få $\frac{dz}{dy}=4y$ det verkar dock inte rätt kan man få lite mer tips

dz/dx=yx

dz/dy=4y

dy/dx=...

(dvs dz/dx är givet i uppgiften)

tack för hjälpen nu är förstår jag det lite bättre

$$\begin{gathered} \frac{dz}{dx}=4y*\frac{dy}{dx} \\ \frac{dz}{dy}=4y \\ xy=4y*\frac{dy}{dx} \\ dx\frac{x}{4}=dy \\ {\int }_{}^{}\frac{x}{4}dx = \frac{x^2}{8} \\ sedan +1 för y\left(0\right)=1 \end{gathered}$$

Ja. Lite snyggare och tydligare om du redovisar

y(x)= x2/8+C 

Och sedan C=1 för att uppfylla randvillkoret y(0)=1

okej tack för hjälpen

.

Hej,

Du har funktionen $z(t) = 2t^2$ och söker funktionen $y(x)$ sådan att $y(0)=1$. Den sammansatta funktionen $z\circ y$ har derivata med avseende på $x$ lika med funktionen $y(x) \cdot x$, så att Kedjeregeln låter dig skriva derivatan till $z\circ y$ som

    $(z\circ y)^\prime(x) = z^\prime(y(x))\cdot y^\prime(x) = 4y(x)\cdot y^\prime(x).$

Kravet blir därför att funktionen $y(x)$ måste uppfylla differentialekvationen

    $4y(x)\cdot y^\prime(x)-x\cdot y(x) = 0 \Longleftrightarrow 4y(x) \cdot (y^\prime(x)-0.25x)=0.$

Detta betyder att antingen är $y(x) = 0$ för alla $x\in\mathbb{R}$ eller så är $y^\prime(x) = 0.25 x$ för alla $x\in\mathbb{R}$. Det första fallet är inte kompatibelt med kravet $y(0)=1$ varför den sökta funktionen $y$ måste vara

    $y(x) = 1+\frac{x^2}{8}\ , \quad x\in\mathbb{R}$.