Differentialekvationens maximipunkt
Såhär lyder uppgiften:
"En lösning till differentialekvationen y' = y - 0,2*x^2 går genom punkten (0, a). Undersök numeriskt för vilka värden på a lösningen har en maximipunkt. Jämför med en algebraisk lösning"
Om jag har förstått rätt innebär numerisk lösning att man använder eulers stegmetod och algebraiskt är då man använder ett program på datorn, t.ex. Octave. Men jag förstår inte hur jag ska lösa den här uppgiften. Är det tänkt att jag ska testa mig fram? Och isåfall hur ska jag gå tillväga på bästa sätt? Eller finns någon annan metod än att testa? Jag skulle verkligen uppskatta tips och hjälp.
Tack på förhand.
En algebraisk lösning bör vara att du tar fram lösningen y = y(x) som en homogen del () och en partikulärlösningsdel (). Du behöver inget datorprogram för den delen.
HT-Borås skrev :En algebraisk lösning bör vara att du tar fram lösningen y = y(x) som en homogen del () och en partikulärlösningsdel (). Du behöver inget datorprogram för den delen.
Tack för hjälpen men jag förstår fortfarande inte hur jag ska ta reda på för vilka värden på a lösningen har en maximipunkt.
Lösningen är ju en funktion y = y(x), och funktioners extremvärden brukar gå att hitta med hjälp av derivatans nollställen.
Jag har försökt lösa uppgiften genom att skriva:
y = D*e^x + A*x^2 + B*x + C
=> y' = y - 0,2*x^2 = D*e^x + A*x^2 + B*x + C - 0,2*x^2
=> y'(0) = D*1 + A*0 + B*0 + C - 0 = D + C
Det innebär att differentialekvation som ska gå genom punkten (0, a) går genom (0, (D+C)) och således är a=D+C. Men det löser ju inte uppgiften.
Börja med att ta fram en partikulärlösning till diffekvationen. Vilken sorts funktion borde det vara? (HT-Borås har redan talat om det för dig, men du behöver beräkna värdet på konstanterna.)
Du har skrivit upp ett uttryck för y. Derivera det!
smaragdalena skrev :Börja med att ta fram en partikulärlösning till diffekvationen. Vilken sorts funktion borde det vara? (HT-Borås har redan talat om det för dig, men du behöver beräkna värdet på konstanterna.)
Ja jag använde det HT-Borås skriv för att ställa upp den allmänna lösningen som blir
y = D*e^x + A*x^2 + B*x + C
som består av den homogena lösningen och en partikulär lösning. Utifrån det kom jag fram till det jag skrev tidigare, att y'(0) = D+C och således a=D+C, men hur går jag vidare därifrån?
Henrik Eriksson skrev :Du har skrivit upp ett uttryck för y. Derivera det!
Om jag deriverar y = D*e^x + A*x^2 + B*x + C och fick
y' = D*e^x + 2A*x + B
=> y'(0) = D + B
Och som jag skrev tidigare kom jag fram till att
y'(0) = D + C
Det innebär att D + B = D + C och det i sin tur betyder att B = C, men det löser väl inte uppgiften?
Tack098 skrev :Henrik Eriksson skrev :Du har skrivit upp ett uttryck för y. Derivera det!
Om jag deriverar y = D*e^x + A*x^2 + B*x + C och fick
y' = D*e^x + 2A*x + B
=> y'(0) = D + 2A
Och som jag skrev tidigare kom jag fram till att
y'(0) = D + C
Det innebär att D + 2A = D + C men det löser väl inte uppgiften?
Om. y' = D*e^x + 2A*x + B så är inte y'(0) = D + 2A.
Men varför tar du reda på vad y'(0) är?
Ska du inte lösa ekvationen y'(x) = 0 för att hitta extremvärdena?
Yngve skrev :Tack098 skrev :Henrik Eriksson skrev :Du har skrivit upp ett uttryck för y. Derivera det!
Om jag deriverar y = D*e^x + A*x^2 + B*x + C och fick
y' = D*e^x + 2A*x + B
=> y'(0) = D + 2A
Och som jag skrev tidigare kom jag fram till att
y'(0) = D + C
Det innebär att D + 2A = D + C men det löser väl inte uppgiften?
Om. y' = D*e^x + 2A*x + B så är inte y'(0) = D + 2A.
Ja det borde vara att y'(0) = D + B
Vilket innebär att D + B = D + C och det innebär att B = C men det löser väl ändå inte uppgiften?
Tack098 skrev :Yngve skrev :Tack098 skrev :Henrik Eriksson skrev :Du har skrivit upp ett uttryck för y. Derivera det!
Om jag deriverar y = D*e^x + A*x^2 + B*x + C och fick
y' = D*e^x + 2A*x + B
=> y'(0) = D + 2A
Och som jag skrev tidigare kom jag fram till att
y'(0) = D + C
Det innebär att D + 2A = D + C men det löser väl inte uppgiften?
Om. y' = D*e^x + 2A*x + B så är inte y'(0) = D + 2A.
Ja det borde vara att y'(0) = D + B
Vilket innebär att D + B = D + C och det innebär att B = C men det löser väl ändå inte uppgiften?
Men vänta nu, varför tar du reda på vad y'(0) är?
Ska du inte lösa ekvationen y'(x) = 0 för att hitta extremvärdena?
