Differentialekvation ynglor

Du räknar rätt men krånglar till det i onödan. Du ser att det är den logistiska tillväxtmodellen. Då vet du att tillväxthastigheten är som störst när antalet är hälften av det maximala antalet, d v s ½ miljon. Och på lång sikt kommer vi att närma oss maximiantalet yngel (det heter yngel både i singular och plural), 1 miljon.

Aha okej jag förstår! Men hur kan jag ta fram data för M och k för att i sin tur kunna utföra y_max=M/2. Eller kanske du menar den delen med y'_max=(kM)/4? Tack så mycket för hjälpen.

Tycker du att för min lösning på uppgift b är tillräckligt tydligt eller behöver jag illustrera det?

De frågar inte hur stor ökningen är som störst, bara vid vilket antal detta inträffar.

Jag tycker snarast att du skriver onödigt mycket på båda uppgifterna.

Jag tycker att du ska resonera dig fram till svaret på b.

Du kan tänka att utgångsvärdet vid t=0 är N=150000. Sätter man in det värdet i diffekvationen ser man att dN/dt>0, dvs N kommer att öka med tiden. Men vid ett speciellt värde på N kommer dN/dt=0. Därefter kommer ju N varken att öka eller minska mer, hur lång ytterligare tid som än passerar. Detta är vad som kommer att hända på sikt.

Populationen på sikt blir alltså:

$$\begin{gathered} \frac{dN(\infty )}{dt}=0=5·{10}^{-9}N(1000000-N) \Rightarrow \\ N(\infty )=0 eller N(\infty )=1000000 \end{gathered}$$

Men eftersom man vet att $N\left(0\right)=150000$, och ökande, så kommer aldrig N att bli noll utan stanna på N=1000000.

På a kan du också komma fram till svaret genom att derivera dN/dt och sätta lika med noll, och studera tecknet för att konstatera att det blir ett maximum (som du säkert brukar göra med andra maximeringsproblem)

JohanF skrev:

Jag tycker att du ska resonera dig fram till svaret på b.

Du kan tänka att utgångsvärdet vid t=0 är N=150000. Sätter man in det värdet i diffekvationen ser man att dN/dt>0, dvs N kommer att öka med tiden. Men vid ett speciellt värde på N kommer dN/dt=0. Därefter kommer ju N varken att öka eller minska mer, hur lång ytterligare tid som än passerar. Detta är vad som kommer att hända på sikt.

Populationen på sikt blir alltså:

$$\begin{gathered} \frac{dN(\infty )}{dt}=0=5·{10}^{-9}N(1000000-N) \Rightarrow \\ N(\infty )=0 eller N(\infty )=1000000 \end{gathered}$$

Men eftersom man vet att $N\left(0\right)=150000$, och ökande, så kommer aldrig N att bli noll utan stanna på N=1000000.

  

Tack så hemskt mycket för svaret Johan! Ursäkta att jag frågar om du kan förklara lite tydligare eftersom jag inte förstod riktigt på beräkningarna. Speciellt där det står $\frac{dN(\infty )}{dt}$och $N(\infty )=0 eller N(\infty )=1 000 000$. Förlåt att jag inte riktigt uppfattade.

Fråga på bara, det är ju det vi är här för!

Differentialekvationanen

$\frac{dN}{dt}=5·{10}^{-9}N(1000000-N)$

beskriver hur stor populationen är, och åt vilket håll populationen förändras, vid varje tidpunkt. Vid den tidpunkt som populationen är $N=150000$stycken yngel, bestämmer differentialekvationen att populationen förändras $\frac{dN}{dt}=5·{10}^{-9}·150000·(100000-150000)=637.5$ stycken yngel per tidsenhet. Vid en annan tidpunkt är populationen $N=500000$stycken yngel, samtidigt bestämmer differentialekvationen att populationen vid den tidpunkten förändras som $\frac{dN}{dt}=5·{10}^{-9}·500000·(1000000-500000)=1250$ stycken yngel per tidsenhet.

Differentialekvationen visar alltså, vid varje tidpunkt, åt vilket håll populationen förändras, beroende på hur stor popuationen är vid just den tidpunkten. Om du ville rita populationen $N$ som funktion av $t$, skulle du kunna göra det genom att rita en massa tangenter till kurvan (tangenter till $N$ har lutningarna $\frac{dN}{dt}$), och låta kurvan formas av tangenterna. (jag försökte rita en skiss nedan, blyertsstrecken är tangenter till populationskurvan).

Om man är uppmärksam hur differentialekvationen ser ut, så ser man att högerledet skulle kunna bli noll för ett par värden på $N$. Det betyder alltså att ifall tangentens lutning ($\frac{dN}{dt}$), blir noll, så kommer inte populationen att ändra sig mer. Dvs populationen har kommit till en steady state nivå, och kommer inte att komma ur det läget hur lång ytterligare tid det än går.

Man kan då lösa ekvationen 

$\frac{dN}{dt}=0=5·{10}^{-9}N(1000000-N)$

för att undersöka vad populationen $N$ måste vara för att den ska sluta ändra sig. Man kommer fram till att om $N=0$ eller$N=1000000$så kommer populationen att stanna vid den nivån. Startvillkoret (populationen 150000 vid $t=0$) och att tangentens lutning hela tiden är positiv ger att populationen måste vara växande. Därför kommer populationen aldrig att kunna bli noll, utan $N=1000000$måste vara den population som stabiliseras på sikt.   

JohanF skrev:

Fråga på bara, det är ju det vi är här för!

 

Differentialekvationanen

$\frac{dN}{dt}=5·{10}^{-9}N(1000000-N)$

beskriver hur stor populationen är, och åt vilket håll populationen förändras, vid varje tidpunkt. Vid den tidpunkt som populationen är $N=150000$stycken yngel, bestämmer differentialekvationen att populationen förändras $\frac{dN}{dt}=5·{10}^{-9}·150000·(100000-150000)=637.5$ stycken yngel per tidsenhet. Vid en annan tidpunkt är populationen $N=500000$stycken yngel, samtidigt bestämmer differentialekvationen att populationen vid den tidpunkten förändras som $\frac{dN}{dt}=5·{10}^{-9}·500000·(1000000-500000)=1250$ stycken yngel per tidsenhet.

Differentialekvationen visar alltså, vid varje tidpunkt, åt vilket håll populationen förändras, beroende på hur stor popuationen är vid just den tidpunkten. Om du ville rita populationen $N$ som funktion av $t$, skulle du kunna göra det genom att rita en massa tangenter till kurvan (tangenter till $N$ har lutningarna $\frac{dN}{dt}$), och låta kurvan formas av tangenterna. (jag försökte rita en skiss nedan, blyertsstrecken är tangenter till populationskurvan).

 

Om man är uppmärksam hur differentialekvationen ser ut, så ser man att högerledet skulle kunna bli noll för ett par värden på $N$. Det betyder alltså att ifall tangentens lutning ($\frac{dN}{dt}$), blir noll, så kommer inte populationen att ändra sig mer. Dvs populationen har kommit till en steady state nivå, och kommer inte att komma ur det läget hur lång ytterligare tid det än går.

Man kan då lösa ekvationen 

$\frac{dN}{dt}=0=5·{10}^{-9}N(1000000-N)$

för att undersöka vad populationen $N$ måste vara för att den ska sluta ändra sig. Man kommer fram till att om $N=0$ eller$N=1000000$så kommer populationen att stanna vid den nivån. Startvillkoret (populationen 150000 vid $t=0$) och att tangentens lutning hela tiden är positiv ger att populationen måste vara växande. Därför kommer populationen aldrig att kunna bli noll, utan $N=1000000$måste vara den population som stabiliseras på sikt.   

Jag tackar dig stort, du fattar jag vad du menar. Jag ska ta:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{dN}{dt}=0\\ \frac{dN}{dt}=5\times {10}^{-9}N(1 000 000-N)\end{array}\right.$

och detta leder till att N₁=0 och N₂=1 000 000 precis som du konstaterade.

Precis. Du formulerade det bättre än jag kunde göra!

Man inser att N=0 borde kunna vara en steadystate-lösning på differentialekvationen eftersom differentialekvationen ska beskriva en population. Om det inte finns några individer i en populationen så kan de ju inte gärna föröka sig heller. Dvs har popuationen väl dött ut så kommer den att förbli död. Och det finns ju även i verkligheten populationer som inte är livskraftiga, utan dör ut av olika anledningar. Därför är det viktigt att motivera varför lösningen N=0 inte är en korrekt assymptotisk lösning i just det här fallet.