Differentialekvation y’’’

Tror du övertänker uppgiften:

Integrera tre gånger 

Såhär?

Kom ihåg konstanterna:

y’’’ = -cosx => y’’ = -sinx +C.

Så svaret blir bara y=sinx+c?

Nej testa och integrera -sinx + c. Vad blir det?

- cosx +c?

Nej vad händer om man integrerar en konstant?

Cx+ c?

Ja men använd gärna olika variabler, cx + d t.ex. Gör lika dant för resten av uppgiften.

Går på gymnasiet och har aldrig löst en differntial ekvation men jag antar det är så man gör

Är detta korrekt? (Blir cx endast cx igen när man tar primitiva funktionen)?

Nej kolla upp de allmäna reglerna för primitiva funktioner. Du lärde dig det i Ma3c.

Julialarsson321 skrev:

Är detta korrekt? (Blir cx endast cx igen när man tar primitiva funktionen)?

Du kan och bör alltid kontrollera din gissning på primitiv funktion genom att derivera den och se om du då får tillbaka den ursprungliga funktionen.

===========

Jag hjälper dig med de första stegen.

Första steget:

• Du vet att y''' = -cos(x)
• Du gissar att y'' = -sin(x)+c
• Du kontrollerar din gissning genom att derivera den: Derivatan av -sin(x)+c är -cos(x). Det stämmer med y'''. Alltså är den primitiva funktionen rätt.

Andra steget:

• Du vet att y'' = -sin(x)+c
• Du gissar att y' = cos(x)+cx+d
• Du kontrollerar din gissning genom att derivera den: Derivatan av cos(x)+cx+d är -sin(x)+c. Det stämmer med y''. Alltså är den primitiva funktionen rätt.

Tredje steget:

• Du vet att y' = cos(x)+cx+d
• Du gissar att y = sin(x)+cx+dx+e
• Du kontrollerar din gissning genom att derivera den. Derivatan av sin(x)+cx+dx+e är ... kan du fortsätta själv här? Stämmer det med vad y' är? Är den primitiva funktionen då rätt?

Derivatan blir cosx+cx+d får jag till det, stämmer de?

Julialarsson321 skrev:

Derivatan blir cosx+cx+d får jag till det, stämmer de?

Nej, hur får du det?

Visa steg för steg hur du deriverar $\sin(x)+cx+dx+e$.

1. Vad är derivatan av första termen $\sin(x)$?
2. Vad är derivatan av andra termen $cx$?
3. Vad är derivatan av tredje termen $dx$?
4. Vad är derivatan av fjärde termen $e$?

Vad blir då derivatan av hela uttrycket?

Sinx= cosx

cx= c

dx= d

e= 0

cosx+c+d?

Ja, då har du deriverat rätt.

Stämmer det då att $\sin(x)+cx+dx+e$ är en primitiv funktion till $\cos(x)+cx+d$?

Nej då måste det vara cosx+ c+ d?

Bra att du inser att det inte stämmer.

Har du något nytt förslag på primitiv funktion till $\cos(x)+cx+d$?

y'' = -sin(x)+c

y’= cosx+ c+ d

y=sinx+ c+d+ e?

Pröva!

Använd samma metod som jag beskrev i svar #14.

Och visa dina uträkningar på samma sätt som jag gjorde i det svaret.

sinx =cosx

c= cx

d= dx

Är de så jag ska tänka? Blir så förvirrad av sånt här

Den primitiva funktionen till -cos(x) är -sin(x)+a, där.a är.en konstant.

Den primitiva funktionen till -sin(x)+a är cos(x)+ax+b, där b är en konstant 

Den primitiva funktionen till cos(x)+ax+b är sin(x)+ax²/2+bx+c, där c är en konstant.

Kontrollera detta genom att derivera förslagen till primitiva funktionerna en och en.

======

Skriv inte att sin(x) = cos(x), att c = cx och att d = dx, för det stämmer inte.

Skriv istället vad du tänker, till exempel på fäljande sätt:

• "Primitiva funktionerna till c är cx+d", om det är det du menar.
• Eller "Derivatan av sin(x) är cos(x)", om det är det du menar.

Nu ser jag att det stämmer, men svaret blir alltså bara såhär?

Ja, det stämmer. Nu är du klar.

Om du vill kan du döpa om konstanterna så att du får y = sin(x)+c₁x²+c₂x+c₃

========

Men jag är inte riktigt nöjd med pilarna som pekar på derivatorna. Det framgår inte av dinnlösning vad pilarna betyder eller varför de är där.

Förslag på början av tydlig lösning:

y''' = -cos(x)

Det ger oss att y'' = -sin(x)+c.

Kontroll: Derivatan av -sin(x)+c är -cis(x). Det stämmer.

y'' = -sin(x)+c

Det ger oss att y' = cos(x)+cx+d.

Kontroll: Derivatan av cos(x)+cx+d är -sin(x)+c. Det stämmer.

Och så vidare.