Differentialekvation/temperaturförändring

Hej! Har en uppgift där jag försökt lösa a-uppgiften men osäker om jag gjort rätt där och på b och c uppgiften har jag fastnat helt.

Uppgiften:

Lisa har lagat lasagne och enligt en förenklad modell kan lasagnens temperaturförändring beskrivas
med differentialekvationen nedan, där y = temperaturen i °C och t = tiden i min.
$\frac{d y}{d t}$ = −0,12(𝑦 − 20)
𝑦(0) = 220

a. Bestäm lasagnens temperaturförändring när dess temperatur är 80°C.
b. Vid vilken tidpunkt är lasagnen ljummen (37°C)?
c. Vad blir lasagnens temperatur på lång sikt? Motivera ditt svar med modellen.

Min lösning:

3a)

dy/dt=-0,12(80-20)

dy/dt=-7,2

Svar: Temperaturförändringen är -7,2 grader.

a) Ja, fast -7,2 grader per minut

c) På lång sikt svalnar lasagnen av så att dy/dt->0, d v s temperaturen blir 20 grader (rumstemperatur?)

b) Är lite knepigare. Ett sätt är att byta variabel så att y-20=w. Då blir ekvationen dw/dt=-0,12w med lösningen $w = A e^{- 0, 12 t^{}}$ . Insättning ger $y = A e^{^{- 0, 12 t}} + 20$ . Om y(0)= så blir A=200 (e⁰=1), "begynnelsevillkor".

Så då har vi löst ekvationen till $y = 200 e^{^{- 0, 12 t}} + 20$

Om y skall vara 37 grader, sätt in, så skall $17 / 200 = e^{- 0, 12 t}$ . Här får vi logga,

så $t = \ln (17 / 200) / (- 0, 12) = 20, 5 m i n u t e r$

Hoppas detta inte är för kortfattat.

a. Uppgiften definierar ju tempeeraturförändring som dy/dt så den är rätt

b. Du måste nog bestämma den primitiva funktionen och lösa ut t för y=37

c. Till slut slutar lasagnen att svalna och temperaturen blir konstant vad händer då med dess derivata?

Ok, nu har jag försökt räkna ut/korrigera a-c uppgifterna och tror att jag förstått det rätt?

3a)

dy/dt=-0,12(80-20)

dy/dt=-7,2

Svar: Temperaturförändringen är -7,2 grader per minut.

Om vi först börjar med att byta variabel så att y-20=w. Då blir ekvationen dw/dt=-0,12 w med lösningen w=Ae^-0,12t. Då ger insättning att y=Ae^-0,12t+20. Om y(0)=220 så blir A=200 (e^0=1), “begynnelsevillkor”.

Då har vi löst ekvationen till y=200e^-0,12t+20.

Nu kan vi räkna ut hur lång tid det tar innan lasagnen är 37 grader så här:

17/200=e^-0,12t

t=ln(17/200)/(-0,12)=20,5 minuter

Svar: Efter 20,5 minuter är lasagnen 37 grader.

På lång sikt svalnar lasagnen så att dy/dt --> 0, dvs temperaturen blir rumstempererad om den står i rumstemperatur från början.

Svara

Visa senaste svar