Differentialekvation med trigonometrisk funktion i högerledet

Hej!

Uppgiften är att bestämma alla lösningar till differentialekvationen $5 y'' + 5 y = \sin x - \cos 2 x$ .

Kan jag då resonera så här:

Först lösa den homogena ekvationen som har den komplexa roten $i \pm \sqrt{5}$ varför $y_{h} = C_{1} e^{i \sqrt{5}} + C_{2} e^{- i \sqrt{5}}$ .
Skriva om H.L. $\sin x - \cos 2 x$ med hjälp av Eulers formler till $\frac{e^{i x}}{2} - \frac{e^{- i x}}{2} - \frac{e^{2 i x}}{2} - \frac{e^{- 2 i x}}{2}$ .
Hitta fyra partikulärlösningar, en för varje term i H.L. och sedan addera dem till en yp som sedan adderas till yh för att få den allmänna lösningen y. Ansatserna till partikulärlösningarna tänkte jag vara på formerna (efter termerna ovan i tur och ordning):
1. $y_{p 1} = A x e^{i x}$
2. $y_{p 2} = - A x e^{- i x}$
3. $y_{p 3} = - A x e^{2 i x}$
4. $y_{p 4} = - A x e^{- 2 i x}$

Anledningen till det extra $x$ :et i ansatserna är att lösningen till den homogena ekvationen är på formen $e^{i x}$ . Hade inte $x$ :et varit där hade man annars fått $0 = e^{i x}$ i $y_{p 1}$ och det går ju inte.

Så, tänker jag rätt så här? $y_{p}$ blev ganska lång och otymplig så jag blev lite misstänksam på om metoden är korrekt.

Lös den homogena igen.

Micimacko skrev:
Lös den homogena igen.

K.E. är $r^{2} + 5 = 0$ eller? Vi saknar ju $y'$ i V.L...

Jvpm skrev:
Micimacko skrev:
Lös den homogena igen.

K.E. är $r^{2} + 5 = 0$ eller? Vi saknar ju $y'$ i V.L...

Nä just det! Jag tappade bort första femman...tack!

Så $y_{h} = C_{1} e^{i x} + C_{2} e^{- i x}$ . Men är resten av resonemanget korrekt?

Det är framförallt ansatserna till tredje och fjärde termen jag är osäker på. Ska de vara $- A e^{2 i x}$ respektive $- A e^{- 2 i x}$ eftersom det är $e^{i x}$ respektive $e^{- i x}$ som löser $y_{h}$ ?

Här ser du att e^ix och samma med minus ingår i homogena lösningen, så de 2 partikulärlösningarna måste "flyttas" genom att sätta x framför ansatsen. De andra 2 ska det inte vara x på, bara en konstant framför.

Annars är det rätt, men man brukar skriva ihop komplexa lösningar till sin och cos i svaret sen. Du kan ignorera både i och /2 eftersom de kan antas ingå i de okända konstanterna.

Tack för hjälpen! Det är första gången jag löser en sådan här ekvation. I min lärobok "Analys i en variabel" av Persson och Böijers står ett annat sätt att lösa en sådan här ekvation på men jag tyckte det var lite krångligt och hittade den här metoden istället på en gammal inspelning från 1971 som jag hittade på MIT OpenCourseWare, 20:55 in i videon. Riktigt bra pedagog!

https://www.youtube.com/watch?v=dzKnv4ntH2g&list=PLW18-jILJ66t9KZvoPpN6bDQaP7Yg42Hh&index=74&t=704s

Det vanligaste är nog att först göra ansatsen A*x*cosx + B*x*sinx för sin x och Acos2x + Bsin2x för cos. Det som kan bli lite klurigare med ditt sätt är att sätta ihop partikulärlösningarna till reell form, eftersom du inte har fria konstanter kvar där att leka fritt med.

Svara

Visa senaste svar