Differentialekvation med integrarande faktor i 2 variabler
Hej!
Jag sitter & löser differentialekvationer och har stött på ett problem jag aldrig sett tidigare och kan inte lyckas lösa varken med hjälp av kursboken eller någonstans online... Frågan lyder
Normalt sett brukar det vara att enbart integrera med avseende på x eller y och sedan addera de funktioner som "faller bort" under integrationen med avseende på en variabel. Men nu är en integrarande faktor inblandad och om jag blickar tillbaka till envariabelanalysen ser jag inte riktigt hur jag ska tackla denna med tanke på att det är 3 variabler inblandade. Jag har försökt allt jag kan att komma någon vart men jag förstår varken hur jag hittar en korrekt integrarande faktor eller lösningsgång efter det. Den integrarande faktorn som söks är men även med denna kunskap förstår jag inte riktigt hur jag ska fortsätta... Tacksam för hjälp!
Målet med integrerande faktor är att vänsterledet ska kunna skrivas om med produktregeln:
I det här fallet är vänsterledet bara en summa av en funktion och dess derivata (m.a.p. x), dvs. för att matcha notationen ovan. Det vi multiplicerar med sen måste alltså vara både och samtidigt, för att vänsterledet ska bli . Och vilken funktion är lika med sin derivata? Jo, . Multiplicerar vi båda led med det får vi att
Nu kan vi alltså skriva om vänsterledet med hjälp av produktregeln, "baklänges":
Kommer du vidare därifrån?
Skaft skrev:Målet med integrerande faktor är att vänsterledet ska kunna skrivas om med produktregeln:
I det här fallet är vänsterledet bara en summa av en funktion och dess derivata (m.a.p. x), dvs. för att matcha notationen ovan. Det vi multiplicerar med sen måste alltså vara både och samtidigt, för att vänsterledet ska bli . Och vilken funktion är lika med sin derivata? Jo, . Multiplicerar vi båda led med det får vi att
Nu kan vi alltså skriva om vänsterledet med hjälp av produktregeln, "baklänges":
Kommer du vidare därifrån?
Absolut, nu är jag med på noterna! Stort tack för hjälpen!
