Differentialekvation med Cosy!!

Jag tror inte det är tänkt att du ska hitta en analytisk lösning. Snarare tror jag du ska ta till en numerisk metod, t.ex. Eulers stegmetod. Du vet att kurvan går genom punkten (0, 0), och att lutningen i den punkten är cos(0)=1. Den lutningen kan du använda för att uppskatta vad y är i ett x lite längre fram, x+h. Då kan du använda det y:et för att beräkna lutningen där, vilket ger nästa punkts y-värde, osv.

Skaft skrev:

Jag tror inte det är tänkt att du ska hitta en analytisk lösning. Snarare tror jag du ska ta till en numerisk metod, t.ex. Eulers stegmetod. Du vet att kurvan går genom punkten (0, 0), och att lutningen i den punkten är cos(0)=1. Den lutningen kan du använda för att uppskatta vad y är i ett x lite längre fram, x+h. Då kan du använda det y:et för att beräkna lutningen där, vilket ger nästa punkts y-värde, osv.

Ojj, förstod inte så mycket. Hur vet man att lutningen är cos(0)= 1? Och behöver man inte lösningskurvan för att använda eulers stegmetod? Hur får jag fram den?

Ekvationen y' = cos(y) säger att lutningen (y') i varje punkt är cos av punktens y-värde. I origo är y-värdet noll, så lutningen där är y'=cos(0)=1.

Nej, Eulers stegmetod är ett sätt att approximera lösningskurvan. Om du hade hela kurvan skulle du inte behöva approximera den. Kika på den här bilden från wikipedia:

Den blå kurvan är lösningskurvan som vi inte har. Det vi har är en startpunkt, A0, samt ett sätt att beräkna kurvans lutning i olika punkter. Genom att vi vet hur mycket den blå kurvan lutar i A0, kan vi följa den raka linjen en bit fram till en ny punkt, A1. Vi beräknar lutningen i den här punkten, och följer den linjen till nästa punkt A2, osv.

Som bilden visar kommer uppskattningen hamna längre och längre ifrån den verkliga kurvan, men ju kortare steglängd man tar mellan punkterna desto närmare hamnar man.

Med tanke på att tråden ligger på Ma5 är det nog meningen att man skall försöka lösa uppgiften med hjälp av ett riktningsfält. 

Smaragdalena skrev:

Med tanke på att tråden ligger på Ma5 är det nog meningen att man skall försöka lösa uppgiften med hjälp av ett riktningsfält. 

Jag är inte så bra på engelska så förstår inte riktig vad som står på sidan. Skulle du kunna förklara?

Skaft skrev:

Ekvationen y' = cos(y) säger att lutningen (y') i varje punkt är cos av punktens y-värde. I origo är y-värdet noll, så lutningen där är y'=cos(0)=1.

Nej, Eulers stegmetod är ett sätt att approximera lösningskurvan. Om du hade hela kurvan skulle du inte behöva approximera den. Kika på den här bilden från wikipedia:

Den blå kurvan är lösningskurvan som vi inte har. Det vi har är en startpunkt, A0, samt ett sätt att beräkna kurvans lutning i olika punkter. Genom att vi vet hur mycket den blå kurvan lutar i A0, kan vi följa den raka linjen en bit fram till en ny punkt, A1. Vi beräknar lutningen i den här punkten, och följer den linjen till nästa punkt A2, osv.

Som bilden visar kommer uppskattningen hamna längre och längre ifrån den verkliga kurvan, men ju kortare steglängd man tar mellan punkterna desto närmare hamnar man.

Okej! Jag förstår mycket mer nu.

"samt ett sätt att beräkna kurvans lutning i olika punkter." Är sättet du syftar på bara att ta vilken punkt som helst ex (2,4) -> y'= cos (4). Hur många punkter bör jag välja?

Skaft skrev:

Ekvationen y' = cos(y) säger att lutningen (y') i varje punkt är cos av punktens y-värde. I origo är y-värdet noll, så lutningen där är y'=cos(0)=1.

Nej, Eulers stegmetod är ett sätt att approximera lösningskurvan. Om du hade hela kurvan skulle du inte behöva approximera den. Kika på den här bilden från wikipedia:

Den blå kurvan är lösningskurvan som vi inte har. Det vi har är en startpunkt, A0, samt ett sätt att beräkna kurvans lutning i olika punkter. Genom att vi vet hur mycket den blå kurvan lutar i A0, kan vi följa den raka linjen en bit fram till en ny punkt, A1. Vi beräknar lutningen i den här punkten, och följer den linjen till nästa punkt A2, osv.

Som bilden visar kommer uppskattningen hamna längre och längre ifrån den verkliga kurvan, men ju kortare steglängd man tar mellan punkterna desto närmare hamnar man.

Är detta rätt?

Såhär har jag gjort:

Steglängden h=1

Eftersom vi har punkten (0,0) så blir x+h= 0+1 => x= 1

Ekvation för tangenten är Y= kx+m

k= 1  x= 1  m=0 (eftersom skärningen i y-axeln går i origo)

Y= 1*1+0 => Y= 1 (approximationen till det exakta värdet)

Y(1) är alltså 1

Svar: 3 decimalers noggrannhet Y(1)= 1,00

Är detta rätt?

1 är en väldigt lång steglängd, då använder du inget av hur kurvan ser ut mellan x=0 och x=1. Prova en kortare steglängd, sen en kortare, sen en kortare, tills du känner dig säker på dina första tre decimaler. (Räkna inte för hand)

Hej. Jag har ett förslag men det innehåller lite krångligare integraler. Hur man löser integralen kan du se i följande länk https://www.youtube.com/watch?v=9pG-1NG2Kqs 

$\frac{dy}{dx}=\cos \left(y\right)$

Separera variabler

$\frac{1}{\cos \left(y\right)}dy=1dx givet \cos \left(y\right) \ne 0$

Integrera båda sidorna

$\int \frac{1}{\cos \left(y\right)}dy=\int 1dx$

Integralen till vänster är den svårare. Se videon för mer info. Hur som helst är svaret:

$\int \frac{1}{\cos \left(y\right)}dy=\ln (\frac{1}{\cos \left(y\right)}+\tan (y\left)\right) +c$

$\int 1dx=x+c$

Vid det här stadiet ser din uppgift ut så här:

$\ln (\frac{1}{\cos \left(y\right)}+\tan (y\left)\right)=x+c$

Gör ln baklänges ln(a) = r -> e^r = a

$\frac{1}{\cos \left(y\right)}+\tan \left(y\right)=e^{x+c}$

Använd potenslagen x^(a+b) = x^a+x^b

$\frac{1}{\cos \left(y\right)}+\tan \left(y\right)=e^x{e}^c$

Ta ställning till det jag skrivit hittills. Lösningen är inte komplett men det är inte mycket kvar nu.