Differentialekvation (matriser)

Hej,

Jag ska lösa differentialekvationen dx/dt=Hx(t) där H är 4x4-matrisen:

1/9 (7 , 4 , 0 , -4
4 , 1 , 0 , 8
0 , 0 , 9 , 0
-4 , 8 , 0 , 1)

och där x(t)=(x1(t) , x2(t) , x3(t) , x4(t))^T med begynnelsevillkoret x(0)=(-1/2 , 1 , 0 , -1)^T och jag vet att jag ska börja med att ta fram Hx(t) men hur ska jag göra detta?

Tack på förhand!

Edit: Glömde nämna att dx/dt är komponentvis derivering med avseende på t som är en reell variabel.

Hej,

Nej, du ska inte beräkna vektorn $Hx(t).$ Istället ska du beräkna matrisexponentialen $e^{tH}$ eftersom differentialekvationens lösning är vektorfunktionen

$x(t)=e^{tH}x(0).$

Albiki skrev:
Hej,
Nej, du ska inte beräkna vektorn $Hx(t).$ Istället ska du beräkna matrisexponentialen $e^{tH}$ eftersom differentialekvationens lösning är vektorfunktionen
$x(t)=e^{tH}x(0).$

Hej Albiki, tack för ditt svar!

Då förstår jag det som att jag först ska ta fram matrisen e^tH och endast använda mig av begynnelsevillkoret när jag därefter ska ta fram x(t), är det korrekt uppfattat?

Jag glömde även tidigare att nämna att dx/dt är komponentvis derivering med avseende på t, la till det i frågan, ändrar detta någonting?

Hej igen! Efter lite läsning i litteraturen kom jag fram till följande formel för att ta fram e^(tH)

Där P är transformationsmatrisen och D är diagonalmatrisen. Är det denna formel jag ska använda för att kunna hitta e^(tH)? Jag har redan tagit fram egenvektorerna samt egenvärden och matrisen är diagonaliserbar.

Denna verkade bara lite krånglig och vill vara på den säkra sidan att jag inte försvårar det för mig eller om det är korrekt.

Hej,

Det är korrekt att använda spektraluppdelning av $H$ för att beräkna $e^{tH}.$

Tusen tack för hjälpen Albiki!

Svara

Visa senaste svar