Differentialekvation genom ansättning y/x = z

Lös differentialekvationen x^2 y' = 3xy - 2y^2

genom att skriva den på homogen form y' = f(y/x) och därefter sätta y/x = z.

Jag började med att skriva om den till

$y' = \frac{3 x y - 2 y^2}{x^2}$

men redan här är jag fast. Det här kan aldrig bli en kvot med bara y i täljare och x i nämnare. Däremot kan vi skriva om det till

$y' = \frac{3 y}{x} - \frac{2 y^2}{x^2}$

Men om vi ansätter z = y/x så får vi y' = 3z - 2z^2

och jag vet inte hur man går vidare därifrån.

Hjälp uppskattas :)

Du kanske ska uttrycka y' i x och z och z' för att få en separerbar ekvation.

HT-Borås skrev :
Du kanske ska uttrycka y' i x och z och z' för att få en separerbar ekvation.

Hur uttrycker jag y' i x och z och z'?

Vanlig derivering, eftersom z ska vara en funktion av x, och y = zx, y' = z + xz'.

Hej!

Om $x = 0$ så säger ekvationen att $y(0) = 0$ .

Om $x\neq 0$ så kan ekvationen skrivas

$\displaystyle y'(x) = 3\frac{y(x)}{x} - 2(\frac{y(x)}{x})^2.$

Med införandet av funktionen $z(x) = \frac{y(x)}{x}$ blir derivatan $y'(x) = z(x)+xz'(x)$ vilket ger differentialekvationen

$\displaystyle xz'(x) = 2z(x)(1-z(x))$ .

Detta är en separabel differentialekvation av första ordningen.

Albiki

Svara

Visa senaste svar