Differentialekvation- förstår inte ett steg

Har fått två villkor som ett ekvationssystem

$\{\begin{cases} y' = & A x^{2} + B x + C \\ y (1) = & 1 \end{cases}$

Jag lyckas bestämma y som primitiv funktion till y prim till:

$\frac{A x^{3}}{3} + \frac{B x^{2}}{2} + C x + D$ = y

Sätter in villkor 2

$1 = \frac{A \cdot 1^{3}}{3} + \frac{B \cdot 1^{2}}{2} + C + D 1 = \frac{A}{3} + \frac{B}{2} + C + D$

Sen kommer jag inte vidare, men facit lyckas gå till detta, vilket jag inte helt förstår varför de kan göra, även om jag ser vad som händer. Nån som kan förklara det?

$\frac{A}{3} (x^{3} - 1) + \frac{B}{2} (x^{2} - 1) + C (x - 1) + 1$

$U t v e c k l a b a k l ä n g e s : \frac{A}{3} (x^{3} - 1) + \frac{B}{2} (x^{2} - 1) + C (x - 1) + 1 = \frac{A}{3} x^{3} - \frac{A}{3} + \frac{B}{2} x^{2} - \frac{B}{2} + C x - C + 1 = \frac{A}{3} x^{3} + \frac{B}{2} x^{2} - \frac{A}{3} - \frac{B}{2} + C x - C + 1 = \frac{A}{3} x^{3} + \frac{B}{2} x^{2} + C x + (- \frac{A}{3} - \frac{B}{2} - C) + 1 = \frac{A}{3} x^{3} + \frac{B}{2} x^{2} + C x + D - 1 + 1 = \frac{A}{3} x^{3} + \frac{B}{2} x^{2} + C x + D = y S v a r e t k a n i n t e s k r i v a s s o m y = \frac{A}{3} x^{3} + \frac{B}{2} x^{2} + C x + D e f t e r s o m d e n i n t e a v g ö r t y d l i g t v i l l k o r e t y (1) = 1 i s t ä l l e t ä r d e t f ö r t y d l i g t a t t y = \frac{A}{3} (x^{3} - 1) + \frac{B}{2} (x^{2} - 1) + C (x - 1) + 1 u p p f y l l e r v i l l k o r e t y (1) = 1 f a s t b å d a e k v a t i o n e r ä r s a m m a s a k e g e n t l i g e n .$

Aha, tack då är jag med Tänkte inte på att det blev "samma sak" när man utvecklade det.

Svara