10 svar
2775 visningar
simpan behöver inte mer hjälp
simpan 20 – Fd. Medlem
Postad: 2 maj 2018 21:33

Differentialekvation

Hej, jag har lite problem med en uppgift i min mattebok som jag gärna skulle vilja förstå hur man löser.

Uppgift:

Bestäm den lösning till y' - 2y = 2x där y(0) = 1

Jag vet svaret på uppgiften, men det jag inte fattar är hur man kommer dit.

Tacksam för hjälp.

AlvinB 4014
Postad: 2 maj 2018 21:50

Börja med att konstatera vilken typ av differentialekvation du har. Är det en homogen eller inhomogen differentialekvation du har att göra med? Hur brukar man lösa en sådan?

simpan 20 – Fd. Medlem
Postad: 2 maj 2018 22:00
AlvinB skrev:

Börja med att konstatera vilken typ av differentialekvation du har. Är det en homogen eller inhomogen differentialekvation du har att göra med? Hur brukar man lösa en sådan?

Jag tänker att man först hittar den allmänna lösningen till y' - 2y = 0, och sedan partikulärlösningen till diffekvationen. Men det verkar inte funka.

AlvinB 4014
Postad: 2 maj 2018 22:08

Detta är en linjär inhomogen differentialekvation, som mycket riktigt löses genom att hitta en partikulärlösning och sedan kombinera den med lösningen till motsvarande homogena differentialekvation.

Visa gärna dina beräkningar så kan vi se var det blir fel.

simpan 20 – Fd. Medlem
Postad: 2 maj 2018 22:28
AlvinB skrev:

Detta är en linjär inhomogen differentialekvation, som mycket riktigt löses genom att hitta en partikulärlösning och sedan kombinera den med lösningen till motsvarande homogena differentialekvation.

Visa gärna dina beräkningar så kan vi se var det blir fel.

 Det här är så långt jag kommit:

 

Lösning till motsvarande homogena diffekvation:y'-2y=2x där y(0)=1y'-2y=0yh=Ce2xpartikulärlösningen till diffekvationen:y=axy'=aVL=a-2(ax)=a-2ax=-2ax+a-2a=2a=-1yp=-1x-1Kombinering av lösningarna:y=yh+yp=Ce2x-1x-1

AlvinB 4014
Postad: 2 maj 2018 22:30

Din ansats, y=axy=ax, är felaktig. Du måste även ha en konstantterm, alltså ska ansatsen vara y=ax+by=ax+b

simpan 20 – Fd. Medlem
Postad: 2 maj 2018 22:34 Redigerad: 2 maj 2018 22:40
AlvinB skrev:

Din ansats, y=axy=ax, är felaktig. Du måste även ha en konstantterm, alltså ska ansatsen vara y=ax+by=ax+b

 I exempelvis y'+3y=6x+5 så motsvarar ju ax 6x och b 5. Man får då ekvationerna 3a=6 och a+3b=5. Men vad blir b i mitt fall?

AlvinB 4014
Postad: 2 maj 2018 22:45

Det behöver inte finnas en konstantterm i högerledet för att lösningen ska kunna innehålla en. Regeln säger egentligen bara att om du har en linjär funktion i högerled med eller utan konstant så ska ansatsen vara y=ax+by=ax+b.

simpan 20 – Fd. Medlem
Postad: 2 maj 2018 23:02
AlvinB skrev:

Det behöver inte finnas en konstantterm i högerledet för att lösningen ska kunna innehålla en. Regeln säger egentligen bara att om du har en linjär funktion i högerled med eller utan konstant så ska ansatsen vara y=ax+by=ax+b.

 ok, det där hjälpte en bit. Svaret ska vara: y=3e2x2-x-0,5 genom att använda hela ansatsen fick jag fram -x och -0.5 men jag förstår fortfarande inte varför första delen blir 3e2x2

AlvinB 4014
Postad: 3 maj 2018 07:37

Du har ju redan tagit fram att lösningen till den homogena differentialekvationen är Ce2xCe^{2x}, och om man kombinerar detta med partikulärlösningen får man:

y=Ce2x-x-0,5

Det enda som är kvar är då att lösa för CC. Det kan vi göra genom att vi vet att y(0)=1y(0)=1. Om vi sätter in 00 istället för xx vet vi att ekvationen ska bli lika med ett. Då får man alltså:

Ce2·0-0-0,5=1

Om man löser ut CC ur denna ekvation får man 32, och då blir lösningen:

y=3e2x2-x-0,5

simpan 20 – Fd. Medlem
Postad: 3 maj 2018 08:51

Självklart är det så😂, ibland är det svårt att se de enklaste stegen. Tack så mycket för hjälpen.

Svara
Close