Differentialekvation

Hej, jag har lite problem med en uppgift i min mattebok som jag gärna skulle vilja förstå hur man löser.

Uppgift:

Bestäm den lösning till y' - 2y = 2x där y(0) = 1

Jag vet svaret på uppgiften, men det jag inte fattar är hur man kommer dit.

Tacksam för hjälp.

Börja med att konstatera vilken typ av differentialekvation du har. Är det en homogen eller inhomogen differentialekvation du har att göra med? Hur brukar man lösa en sådan?

AlvinB skrev:
Börja med att konstatera vilken typ av differentialekvation du har. Är det en homogen eller inhomogen differentialekvation du har att göra med? Hur brukar man lösa en sådan?

Jag tänker att man först hittar den allmänna lösningen till y' - 2y = 0, och sedan partikulärlösningen till diffekvationen. Men det verkar inte funka.

Detta är en linjär inhomogen differentialekvation, som mycket riktigt löses genom att hitta en partikulärlösning och sedan kombinera den med lösningen till motsvarande homogena differentialekvation.

Visa gärna dina beräkningar så kan vi se var det blir fel.

AlvinB skrev:
Detta är en linjär inhomogen differentialekvation, som mycket riktigt löses genom att hitta en partikulärlösning och sedan kombinera den med lösningen till motsvarande homogena differentialekvation.
Visa gärna dina beräkningar så kan vi se var det blir fel.

Det här är så långt jag kommit:

$L ö s n i n g t i l l m o t s v a r a n d e h o m o g e n a d i f f e k v a t i o n : y' - 2 y = 2 x d ä r y (0) = 1 y' - 2 y = 0 y_{h} = C e^{2 x} p a r t i k u l ä r l ö s n i n g e n t i l l d i f f e k v a t i o n e n : y = a x y' = a V L = a - 2 (a x) = a - 2 a x = - 2 a x + a - 2 a = 2 a = - 1 y_{p} = - 1 x - 1 K o m b i n e r i n g a v l ö s n i n g a r n a : y = y_{h} + y_{p} = C e^{2 x} - 1 x - 1$

Din ansats, $y=ax$ , är felaktig. Du måste även ha en konstantterm, alltså ska ansatsen vara $y=ax+b$

AlvinB skrev:
Din ansats, $y=ax$ , är felaktig. Du måste även ha en konstantterm, alltså ska ansatsen vara $y=ax+b$

I exempelvis $y' + 3 y = 6 x + 5$ så motsvarar ju ax 6x och b 5. Man får då ekvationerna $3 a = 6 o c h a + 3 b = 5$ . Men vad blir b i mitt fall?

Det behöver inte finnas en konstantterm i högerledet för att lösningen ska kunna innehålla en. Regeln säger egentligen bara att om du har en linjär funktion i högerled med eller utan konstant så ska ansatsen vara $y=ax+b$ .

AlvinB skrev:
Det behöver inte finnas en konstantterm i högerledet för att lösningen ska kunna innehålla en. Regeln säger egentligen bara att om du har en linjär funktion i högerled med eller utan konstant så ska ansatsen vara $y=ax+b$ .

ok, det där hjälpte en bit. Svaret ska vara: $y = \frac{3 e^{2 x}}{2} - x - 0, 5$ genom att använda hela ansatsen fick jag fram -x och -0.5 men jag förstår fortfarande inte varför första delen blir $\frac{3 e^{2 x}}{2}$

Du har ju redan tagit fram att lösningen till den homogena differentialekvationen är $Ce^{2x}$ , och om man kombinerar detta med partikulärlösningen får man:

$y = C e^{2 x} - x - 0, 5$

Det enda som är kvar är då att lösa för $C$ . Det kan vi göra genom att vi vet att $y(0)=1$ . Om vi sätter in $0$ istället för $x$ vet vi att ekvationen ska bli lika med ett. Då får man alltså:

$C e^{2 \cdot 0} - 0 - 0, 5 = 1$

Om man löser ut $C$ ur denna ekvation får man $\frac{3}{2}$ , och då blir lösningen:

$y = \frac{3 e^{2 x}}{2} - x - 0, 5$

Självklart är det så😂, ibland är det svårt att se de enklaste stegen. Tack så mycket för hjälpen.

Svara

Visa senaste svar