Differentialekvation

När man beräknar de två egenvektorerna använder man ju sig av parameterlösning, men om man multiplicerar denna vektor, tex i mitt fall m(2 3) med tex -1 skulle det ju bli en annan egenvektor och därefter ett annat C1,C2. Jag antar alltså att det inte finns ett korrekt C1 respektive C2 utan att det som måste vara konstant är mina egenvärden som blir e^(lamda1) samt e^(lamda2). Stämmer detta? Även den specifika lösningen då man använder begynnelsevärden blir ju olika beroende på vald egenvektor.

När man säger att en linjär transformation $T$ har, säg två egenvektorer $v_1$ och $v_2$ , så menar man inte att det bara finns två egenvektorer till $T$ . Om $T(v_1) = \lambda v_1$ och $k$ är någon skalär (ej lika med noll) så är nämligen $T(kv_1)=kT(v_1)=k\lambda v_1=\lambda(kv_1)$ . Alltså är också $kv_1$ en egenvektor till $T$ .

Detta visar att om $v_1$ är en egenvektor till $T$ så är också alla multiplar $kv_1,\ k\neq 0$ av $v_1$ också egenvektorer. Det som menas när man säger att " $T$ har egenvektorerna $v_1$ och $v_2$ " är alltså egentligen att egenvektorerna till $T$ är alla (nollskilda) skalärmultiplar av $v_1$ och $v_2$ , alltså att egenvektorerna är de oändliga mängderna av vektorer $\{kv_1:k\neq 0\}$ och $\{kv_2:k\neq 0\}$ . Man kan se det som att man väljer en representant ur var och en av dessa mängder och kallar representanten för en egenvektor, men i själva verket så står varje egenvektor för en hel familj egenvektorer.

Notera att i varje sådan oändlig familj av multiplar har alla vektorer ett och samma egenvärde.

Låt nu $v_1$ och $v_2$ vara egenvektorerna i dina beräkningar. När man skriver den generella lösningen på systemet " $x(t)=C_1\dots+C_2\dots$ " så menar man inte att det finns en unik funktion som löser ekvationssystemet, utan att det finns oändligt många lösningar, en för varje val av konstanterna $C_1$ och $C_2$ .

Det gäller att om $x(t)$ och $y(t)$ är lösningar till systemet, så är även en linjär kombination av $x(t)$ och $y(t)$ också en lösning på systemet: $ax(t) + by(t)$ , för $a,b\in \mathbb{R}$ . Det betyder att om vi hittar en enda lösning, så har vi automatiskt oändligt många lösningar eftersom vi kan multiplicera den med alla möjliga reella tal.

När man skriver den generella lösningen $x(t) = C_1v_1e^{-4t}+C_2v_2e^{7t}$ så menar man att samtliga lösningar ges av

$\{ C_1v_1e^{-4t}+C_2v_2e^{7t}:C_1,C_2\in\mathbb{R} \}.$

Denna oändliga mängd funktioner blir densamma om vi ersätter $v_1$ med $-v_1$ eller någon annan multipel av $v_1$ , och på samma sätt för $v_2$ . Eftersom $C_1$ och $C_2$ är godtyckliga konstanter som varierar över alla möjliga tal så kommer mängden ovan förbli densamma.

Svara