differentialekvation

Jag har en uppgift där jag ska hitta en lösning till differentialekvationen $y \frac{d f}{d y} - 2 x \frac{d f}{d x} = 2 x y^{4}$ som ska uppfylla bivillkoret $f (1, y) = 2 y^{4}$ . Jag har variabelbyten $u = x y^{2} o c h v = y$ .

Jag har kommit fram till att differentialekvationen ser ut på följande: $v (\frac{d f}{d v}) - 2 u (\frac{d f}{d u}) = 2 u v^{2}$ .

Men hur ska jag nu gå vidare för att lösa uppgiften?

Har du fått fram lösningen?

nej

Differentialekvationen i variablerna u och v borde ha sett annorlunda ut efter att kedjeregeln tillämpats.

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx} + \frac{df}{dv} \frac{dv}{dx} = y^2 \frac{df}{du}$

och

$\frac{df}{dy} = \frac{df}{du} \frac{du}{dy} + \frac{df}{dv} \frac{dv}{dy} = 2xy \frac{df}{du} + \frac{df}{dv}$

När dessa sätts in i den givna differentialekvationen, så får man att $y \frac{df}{dv} = 2xy^4$ , vilket kan skrivas om som $\frac{df}{dv} = 2uv$ .

Integrera detta m.a.p. $v$ , så $f(u,v) = uv^2 + g(u)$ , där g är en godtycklig kontinuerligt deriverbar funktion. Nu återstår bara återsubstitution och därefter kommer du kunna bestämma funktionen $g$ enligt det givna bivillkoret.

Svara

Visa senaste svar