Differentialekvation

Kan du ta en bild av texten i boken?

Diff-ekvationen tar hand om det där, eftersom y(t) ändras hela tiden. Från början är y(0) = 10 men värdet går ner hela tiden. Om du tar fram rätt värde på y(1) så stämmer funktionen.

Hm, jag kanske tänkte fel först då jag föreställde mig den faktiska förändringen av salthalten $y(t)$ under en timme, men det $y'(t)=8\cdot 2 - 8\cdot \frac{y(t)}{200}$ säger är att detta tal om vi "fryser" talet i en timme, är vad som skulle flöda in under en timme, tänker jag rätt då?

Och hur kommer derivatans definition in här, $\frac{y(t+t_{0})-y(t)}{t_{0}}$? Jag vet ju inte $y(t)$, är det hela poängen med diff-ekvationen att jag kan hitta derivatan först och med hjälp av den finna $y(t)$?

Smaragdalena skrev:

Diff-ekvationen tar hand om det där, eftersom y(t) ändras hela tiden. Från början är y(0) = 10 men värdet går ner hela tiden. Om du tar fram rätt värde på y(1) så stämmer funktionen.

Jag förstår ej y/200. Om y är en salthalt (andel) vad är y/200?

Det var otydligt av mig, y ska vara saltmängden i tanken.

Andreas Wartel skrev:

Hm, jag kanske tänkte fel först då jag föreställde mig den faktiska förändringen av salthalten $y(t)$ under en timme, men det $y'(t)=8\cdot 2 - 8\cdot \frac{y(t)}{200}$ säger är att detta tal om vi "fryser" talet i en timme, är vad som skulle flöda in under en timme, tänker jag rätt då?

Ja, du tänker fel. Saltkoncentrationen y(t) varierar kontinuerligt. Derivatan ändras också hela tiden, på så sätt att diffekvationen stämmer hela tiden.

Och hur kommer derivatans definition in här, $\frac{y(t+t_{0})-y(t)}{t_{0}}$? Jag vet ju inte $y(t)$, är det hela poängen med diff-ekvationen att jag kan hitta derivatan först och med hjälp av den finna $y(t)$?

Läs om diffekvationer här. Du skall inte ta fram derivatan först.

Tack för ditt svar!

Smaragdalena skrev:

Ja, du tänker fel. Saltkoncentrationen y(t) varierar kontinuerligt. Derivatan ändras också hela tiden, på så sätt att diffekvationen stämmer hela tiden.

Jag förstår att derivatan ändras, det var det som förvirrade mig från början när man samtidigt skriver att "den tillförda saltmängden per timme" är $8·2−8·\frac{y(t)}{200}$. Det gäller ju bara om jag väljer ett värde på $t$ som får gälla under en timme, alltså vad tillförseln per timme hade varit om vi betraktar hastigheten i punkten $t$. Den tillförda saltmängden kommer inte vara $8·2−8·\frac{y(1)}{200}$ efter en timme.

Läs om diffekvationer här. Du skall inte ta fram derivatan först.

Men det tycks mig som att boken formulerar vad derivatan är enligt $8·2−8·\frac{y(t)}{200}$ för att först därefter hitta $y(t)$?

Jag läste det första exemplet i länken du skickade. Man skriver:

"Vi är intresserade av att beräkna förändringshastigheten räknat i antal bakterier per timme i vårt tidigare exempel vid en viss tidpunkt, säg t = 10 timmar efter experimentets början.

Om vi vet att antalet bakterier vid experimentets början (t = 0 timmar) var 1000 st. och att tillväxten var 10 % per timme, då får vi följande differentialekvation:"

Det verkar som om de menar kontinuerlig tillväxt (ränta på ränta). Men hur ska man veta det? Varför tillgodoser inte $1000 \cdot 1.1^t$ formuleringen?

Tillägg: 4 maj 2024 19:45

Hej! Ovanstående är kanske petitesser men fortfarande förvirrande för mig. Hade verkligen uppskattat om någon ville kommentera!

Trinity2 skrev:

Smaragdalena skrev:

Diff-ekvationen tar hand om det där, eftersom y(t) ändras hela tiden. Från början är y(0) = 10 men värdet går ner hela tiden. Om du tar fram rätt värde på y(1) så stämmer funktionen.

Jag förstår ej y/200. Om y är en salthalt (andel) vad är y/200?

y(t) är nog egentligen totala saltmängden i tanken.