differentialekvation

Jag har en uppgift där jag ska lösa differentialekvationen

$y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = e^{3 x} + \sin (x)$

där y(0)=1 och $y^{'} (0) = 2$

Det jag behöver hjälp med är partikulärlösningen till differentialekvationen.

För den homogena lösningen fick jag $y_{h} = (C_{x} + D) e^{3 x}$

För att bestämma partikulärlösningen till $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = e^{3 x}$ satte jag $y_{p 1} = z (x) e^{3 x}$

och då ${y^{'}}_{p 1} = z^{'} e^{3 x} + 3 z e^{3 x} = (z^{'} + 3 z) e^{3 x} {y^{''}}_{p 2} = (y^{''} + 3 z^{'}) e^{3 x} + 3 (z^{'} + 3 z) e^{3 x} = (z^{''} + 6 z^{'} + 9 z) e^{3 x}$

Det jag har problem med är när man ska sätta in värdena i $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = e^{3 x}$ och få $z^{''} = 1 \leftrightarrow z^{'} = x + c \leftrightarrow z = \frac{x^{2}}{2} + c x + d$

Hej!

Jag får ekvationen

$z''(x) = 1 + e^{-3x}\sin x$

vars lösningar är

$z(x) = A + Bx + \frac{1}{50}e^{-3x}(4\sin x + 3\cos x)\ ,$

så att partikulärlösningen är sådan att

$y(x) = Ae^{3x} + Bxe^{3x} + \frac{1}{50}(4\sin x + 3\cos x)\ .$

Albiki

men jag förstår inte som i facit där det står att man ska dela upp i två delar och lösa e^3x och sinx för sig.

Då sätter dom för e^3x att $y'' - 6 y' + 9 y = e^{3 x}$ och därav $z'' = 1, z' = x + c, z = \frac{x^{2}}{2} + c x + d$

jag förstår inte hur dom får fram svaren

JnGn skrev :
men jag förstår inte som i facit där det står att man ska dela upp i två delar och lösa e^3x och sinx för sig.
Då sätter dom för e^3x att $y'' - 6 y' + 9 y = e^{3 x}$ och därav $z'' = 1, z' = x + c, z = \frac{x^{2}}{2} + c x + d$
jag förstår inte hur dom får fram svaren

Hej!

Det kommer från att deriveringsoperatorn är en linjär operator.

Om $Y_1$ uppfyller ekvationen

$y''-6y'+9y = e^{3x}$

och $Y_2$ uppfyller ekvationen

$y''-6y'+9y = \sin x$

så uppfyller linjärkombinationen $Y_1+Y_2$ ekvationen

$y''-6y'+9y = e^{3x}+\sin x.$

Albiki

Svara

Visa senaste svar