Differentialekvation

Tjenare Andreas!

Tror ekvationssystemet blir knas någonstans om vi ansätter $y=(ax+b)e^{-x} -> y\text{'}=(-ax+a-b)e^{-x}$ om vi stopppar in detta i $y\text{'}\text{'}-3y\text{'}+2y=(4x+3)e^{-x}$ får vi bl.a $a=\frac{2}{3}$ kolla om du fixar b också!

Sen karakteristiska ekvationen blir $r^2-3r+2$

Om du vill jag ska förtydliga/beräkna något säg till!

Tack för svar! Ja jag hade räknat fel och fick nu $a=\frac{2}{3}$ och $b=\frac{19}{18}$. Så mitt $Z_p$ är $\frac{2}{3}x+\frac{19}{18}$. Men jag blir förvirrad för vi vill väll hitta både en homogen och en partikulär lösning för att få den allmänna lösningen till diffeerntialekvationer? Behöver jag inte $Z_p$ OCH $Z_h$?

Räcker det med $Z_p$ som ger mig $Y_p$ och sen genom den karaktäristiska ekvatiuonen för $Y$ får jag $Y_h$.

Ja det räcker med $Y_h$. Förstår inte riktig, och jag kan bara vara omedveten om någon speciell metod, varför du skriver $Y=Z{e}^{-x}$ och ansätta $Z=ax+b$ överhuvudtaget, jag hade bara tänkt: ansätt partikulär lösningen $Y_p=ax{e}^{-x}+b{e}^{-x}$ få ut a,b(som jag antar du gjorde) sen för homogen lös $y\text{'}\text{'}-3y\text{'}+2y=0$

Menade du att det räcker med $Z_p$? (apropå din första mening)

Vad gäller att ansätta $Y=Ze^{-x}$ så framstår det nu när du nämner det som onödigt, för det leder väl i slutändan till samma sak? Jag lär mig från denna video just nu så jag försökte följa den: https://media.math.su.se/course/Matematik_I_-_Analys_del_2?lecture=13&part=6

Sorry jag var otydligt, jag menade att det räcker att beräkna $Y_p$ med ansats $ax{e}^{-x}+b{e}^{-x}$ . Yup det leder i slutändan till samma sak

När jag nu får så bra hjälp har jag en till fråga.

Bestäm den lösning till differentialekvationen $y''+y=2 \cos x +5 \sin x$, som uppfyller bivillkoren $y(0)= 5$ och $y'(0)= 3$.

Jag hittade den homogena lösningen genom den karakteristiska ekvationen, $r^2+1=0$ som gav mig

$y_h=A\cos{x}+B\sin{x}$. Jag försökte sedan finna en partikulärlösning genom att ansätta $y=A\sin{x}+B\cos{x},$ $y'=A\cos{x}-B\sin{x}$ och $y''=-A\sin{x}-B\cos{x}$ vilket gav mig

$y''+y=-A\sin{x}-B\cos{x} + A\sin{x}+B\cos{x} = 0$

Det förbryllar mig för hur ska jag kunna hitta vad $A$ och $B$ är om vänsterledet blev 0?

Absolut!

Precis i detta fallet fungerar inte uppenbara ansatsen $y=A\cos \left(x\right)+B\sin \left(x\right)$ så standard tekniken är att ändra ansatsen lite oftast till $y=x\left(A\cos \right(x)+B\sin (x\left)\right) \Rightarrow y\text{'}\text{'}=(-Bx-2A)\sin \left(x\right)+(2B-Ax)\cos \left(x\right)$ så $y\text{'}\text{'}+y=(-Bx-2A)\sin \left(x\right)+(2B-Ax)\cos \left(x\right)+Ax\cos \left(x\right)+Bx\sin \left(x\right)=2B\cos \left(x\right)-2A\sin \left(x\right)$ vilket måste vara $2\cos \left(x\right)+5\sin \left(x\right)$. Men detta var på partikulär lösningen, den homogena lösningen ges av $r=\pm i$ så $e^{\pm ix}=\cos (\pm x)+i\sin (\pm x)$ vilket borde funka