Differentialekvation
Frågan lyder:
I en stad någonstans i norra sverige bor det 100 000 människor. antalet födslar och dödsfall gör att befolkningsökningen varje år är 0,1% av antalet människor som bor i staden. till följd av minskade arbetstillfällen flyttar varje år 500 människor från staden. skapa en matematisk modell för hur befolkningen utvecklas i staden och beräkna med hjälp av denna modell hur lång tid det tar för befolkningen i staden att minska med 10 000 människor.
har behövt hjälp med den här i typ en vecka och ingen svarar kan någon vara snäll och hjälpa mig tack på förhand
Hej! Har du stött på blandsningsproblem tidigare? För jag tror att man kan tänka på samma sätt här, trots att det inte rör sig om en blandning.
y’ = min - mut
Du får skriva upp ett uttryck för hur många som tillkommer varje år och hur många som försvinner.
Hej!
jag förstår inte riktigt vad du menar med blandningsproblem. Är det en metod för att lösa den här uppgiften isåfall hur gör man det
Blandningsproblem är en tillämpning av differentialekvationer, det är helt enkelt en viss sorts problemlösningsuppgifter som oftast går ut på att två vätskor blandas. Man använder differentialekvationer för att lösa dem.
Din uppgift är lik dessa blandningsproblem, men har ni inte gått igenom det så kan du lösa uppgiften ändå.
Du får tänka så här: Du ska ställa upp en differentialekvation. y’ kommer stå för hur befolkningen förändras med avseende på tiden. Befolkningsändringen kan skrivas som min - mut där min är hastigheten med vilken befolkningen ökar och mut är hastigheten med vilken befolkningen minskar.
I ditt fall blir mut = 500 människor/år.
Kan du tänka ut ett uttryck för hur många människor som tillkommer varje år?
Tillkommande människor = Befolkningsökning - Utflyttning
Befolkningsökning = (0,1% av N) = 0,001 * N
Tillkommande människor = 0,001 * N - 500
är det rätt eller hur skulle du skrivit
Jag kanske bör lägga till detta:
Om y’ är människor/år blir y helt enkelt antalet människor vid en viss tidpunkt.
Ja så skulle jag ha skrivit, fast jag skulle ha skrivit y istället för N:
y’ = 0,001y - 500
Där är en differentialekvation som du kan lösa!
Okej så nu har vi uttrycket. Hur ska jag lösa den?
Det där är en inhomogen differentialekvation av första ordningen. Kan du lösa sådana?
Y’ - 0,001y = -500
Så långt kan jag bara 😭
Det är bra, skulle också ha skrivit det på den formen :) Vet du om du gjort detta tidigare? Först ska du skriva en homogen lösning på denna form:
yH = Ce-kx
Sedan en partikulär. Är det bekant?
Ja det är bekant men eftersom det var så länge sen vi gjorde det så minns jag inte hur man använder de stegen. Förlåt
Det är okej! Men man måste kunna lösa differentialekvationen för att lösa uppgiften. Kanske kan du gå tillbaka i din mattebok och repetera hur man gör? Det är viktigare att du kan lösa en sån här differentialekvation än att du kan lösa hela problemlösningsuppgiften.
Blir ekvationen såhär?:
y = 500,000 + Ce^(0) = 500,000 + C
Du är nära!
Den partikulära lösningen är 500 000. Men du tar inte detta plus en konstant C.
y = yH + yP
Du har fått fram yP rätt men måste repetera hur du tar fram yH. Du ska inte ta e0
Oj vad krångligt det blev. Skulle snälla kunna visa med beräkningar hur man gör istället för text.
Jag började förklara men insåg medan jag skrev att det är många steg. Jag kan lösa den ändå, men om du inte riktigt har greppat detta kan det nog vara svårt att följa lösningen. Men så här skulle jag ha gjort:
y’ - 0,001y = -500
Lösningen kommer bestå av en homogen lösningen plus en partikulär lösning, y = yH + yP
Den homogena lösningen blir yH = Ce0,001x
Jag gör ansatsen att den partikulära kan skrivas på formeln yP = a (dvs är konstant, eftersom -500 är en konstant).
Om yP = a blir yP' = 0. Dessa värden sätter jag in i ekvationen:
0 - 0,001a = -500 ⇒ a = 500 000
Min partikulära lösningen är alltså yP = 500 000
Som jag sagt tidigare är lösningen y = yH + yP. Med de värden jag har nu blir det:
y = Ce0,001x + 500 000
Detta är lösningen på differentialekvationen. Som du ser har vi fortfarande en konstant C, som vi inte beräknat. För att beräkna den behöver vi ett villkor. Villkoret får vi från uppgiften, nämligen att vid tiden 0 finns det 100 000 människor (x=0, y=100000). Vi sätter in det i ekvationen:
100 000 = Ce0,001・0 + 500 000 = C ・1 + 500 000 = C + 500 000 ⇒ C = -400 000
Min helt färdiga lösning till differentialekvationen blir således:
y = -400 000e0,001x + 500 000
Denna ekvation visar hur stor befolkningen y är vid tiden x. Den kan du använda för att besvara frågeställningen i uppgiften.
Om du har svårt för att förstå lösningen tror jag det vore bra om du repeterade hur man löser olika typer av differentialekvationer, innan du fortsätter med problemlösning!
ska jag nu använda denna matematiska modell y = -400 000e^0,001x + 500 000 för att besvara hur lång tid det tar för befolkningen i staden att minska med 10 000 människor
Ja, precis. Om y = 10 000 så kan du få reda på vad x är. x representerar tiden, dvs hur många år som gått från nutid.
Jahaaa okej jag förstår nu. Omg tack snälla 🥺
Varsågod! Hoppas du kan få fullt grepp om differentialekvationerna nu :)
svaret blir 202,9.
är det minuter eller sek. eftersom de frågar väl om tiden
Ja de frågar om tiden. Det handlar om hur befolkningen minskar/ökar i en stad. Är det rimligt att befolkningen förändras på några minuter? Eller vad är det vi har räknat på för tidsenhet?
Nej det är inte rimligt. Vilken tidsenhet borde det vara? Är det per år
Precis, inte rimligt. År är det vi räknat med. Det var ju en ökning med 0,1% varje år och en minskning med 500 människor varje år. Bra!
