differentialekvation

Du använder alltså metoden Integrerande faktor.

Och det är en primitiv till funktionen framför y som du ska beräkna.

g(x) = 2, så G(x) = 2x

Sedan ska du multiplicera VL och HL med e^2x, och så kan du följa metoden i länken.

okej jag förstår det mesta men hur ska man få -2x i exponenten? jag får bara 2x

Detta är en differentialekvation av första ordningen, man ansätter då vanligtvis en funktion som i vårt fall blir y=Ce^-2x+d där C kan lösas ut ifall vi har ett villkor och D är beroende av vad som står i högerledet (Då vi har ett inhomogent differentialekvation, HL är inte ekvivalent med noll). Anledningen till varför vi får att exponenten blir till -2x är beroende på siffran som står framför y i differentialekvationen. Detta förklaras utförligt här https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/differentialekvationer/inhomogena-differentialekvationer. 

$e^{2x}y' +e^{2x} 2y= e^{2x}$

$(e^{2x}y)' = e^{2x}$ (produktregeln baklänges)

$e^{2x}y = \int e^{2x} dx + C$

$e^{2x}y = (1/2) e^{2x} + C$

Lös sedan ut y.

jag försökte lösa den som en inhomogen differentialekvation och förstår nu hur man får -2x. Då man ska göra den andra delen av lösningen dvs partikulärlösningen ska man sätta ax+b men när man inte har något x-värde i HL hur ska man göra då? eftersom jag på något sätt måste få ut 1/2 eller är det bara att ta primitiven till $e^{2x}=\frac{1}{2}{e}^{2x}$ ?

Om du ansätter 

y = ax+b

Så får du beräkna y'=a 

och sedan stoppa in detta i vänsterledet

y'+2y=a+2(ax+b)=a+2b + 2ax=1

Detta ska gälla för alla x, så a måste vara 0.

Och b=1/2

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/ICKE_HOM_LIN_DIF_EKV.pdf här förklaras det väldigt utförligt hur man ansätter termer beroende på HL. I vårt fall har vi enbart konstanter i högerledet och då kan du ansätta konstanten A.