Differentialekvation euler typ

Jag behöver lite hjälp med denna differentialekvation: Hur gör man när det är ln i det högra ledet? Jag vet att man kan sätta $t = \ln (x) < = > x = e^{t}$ och sen kan man göra något med kedjeregeln som jag inte riktigt förstår.

Man tar ju $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} \frac{d y}{d t}$ , för 1:a derivatan. Jag förstår inte likheten här, hur kan det bli $\frac{1}{x}$ som koefficient?

Och för 2:a derivatan: $\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \frac{d y}{d t}) = - \frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d t}) = - \frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{1}{x} \frac{1}{x} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - \frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ , där jag inte förstår $\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d t}) = \frac{1}{x} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}$

Hej!

Du bör kunna lösa den homogena ekvationen genom att ansätta $y_h\left(x\right)=x^\gamma$ för något gamma. Sen får du försöka hitta en partikulärlösning, och det kanske verkar rimligt att börja med någon typ av ansats som $y_p\left(x\right)=A\ln\left(x\right)+B$ eller nåt, jag vet inte du får testa så bör du märka om det är något som du behöver rätta till. Sen ges lösningen av den homogena lösningen plus en partikulärlösning.

Du får $\frac{1}{x}$ som koefficient eftersom det är derivatan av $t=\ln\left(x\right)$ med avseende på $x$ .

$\displaystyle t=\ln(x)$

$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial x}=\frac{1}{x}$

$\displaystyle \frac{\partial ^2t}{\partial x^2}=-\frac{1}{x^2}$

$\displaystyle y^\prime_x=\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}=y^\prime(t)\cdot \frac{1}{x}$

osv med kedjeregeln. Slutligen bör du få den betydligt enklare differentialekvationen

$y^{\prime\prime}(t)+4y^\prime(t)+4y(t)=t$

Svara