Differentialekvation
Hej!
Jag ska lösa följande uppgift
"Betrakta differentialekvationen: y’ − 4x/y = 4
a) Vilken lutning har en lösningskurva till differentialekvationen i punkten (3,-6)?
b) Bestäm y(2) då y(0) = 4. "
Jag tänker att differentialekvationen y’ − 4x/y = 4 har den allmänna lösningen y=Ce-ax men jag är osäker på var "a" blir. Blir det (instoppat i ekvationen) y=Ce4x eller y=Ce4x∙x? Eller blir exponenten ett bråk?
Jag har gjort dessa beräkningar på fråga a...
"Differentialekvationen y’ − 4x/y = 4 har den allmänna lösningen y=Ce-ax
a) y=Ce-ax → y’=-a∙C∙e-ax
Vid insättning av värdena i differentialekvationen får vi:
-a∙C∙e-ax - 4x/Ce-ax = 4
Sedan tänkte jag att jag ska sätta in x=0 och då skulle den andra termen i VL bli 0 vilket skulle innebära att -a∙C=4." Men här börjar jag bli osäker på min beräkning. Men när jag ska beräkna lutningen i punkten, är det då bara att stoppa in x=3 och y=-6 in i y=-a∙C∙e-ax - 4x/Ce-ax då? DVS om jag har beräknat den korrekt.
På fråga b har jag beräknat...
För att y(0)=4 innebär det att -a∙C=4 eftersom…
4e-a∙0 - 4∙0/Ce-a∙0 =
= (4∙1)-0=4
Men jag vet inte hur jag ska fortsätta då jag är osäker på var "a" har för värde.
Om du sätter in din allmänna lösning så ser du att högerledet inte kan bli konstanten 4, så det är inte den allmänna lösningen.
Den kanske går att lösa algebraiskt, men du ska förmodligen använda en numerisk approximationsmetod.
y = kx kan förresten vara en lösning, ser jag, men den fungerar dåligt med y(0) = 4.
