Differentialekvation
Hej!
Uppgiften jag försöker lösa är "Visa att y = Ax + B/x^2 är en lösning till differentialekvationen x^2y'' + 2xy' - 2y = 0"
Jag har hittat första och andraderivatan för y=Ax + B/x^2. Jag har satt in de tillsammans med y = Ax + B/x^2 i ekvationen x^2y'' + 2xy' - 2y = 0. Jag har sedan förenklat och utvecklat, men är osäker om det jag har beräknat stämmer. Det är många steg och jag är osäker på om allt stämmer.
Min beräkning,
y’=A-2B/x^3 och y’’=6B/x^4.
x^2( 6B/x^4)+2x(A-2B/x^3)-2(Ax+B/x^2)=0
Sedan förenklade jag funktionen,
6B/x^2+((2x(A-2B))/x^3)-((2(Ax+B))/x^2)=0
6B/x^2+((2(A-2B))/x^2)-((2(A+B))/x)=0
6B/x^2+((2A-4B)/x^2)-((2A+2B)/x)=0
6B/x^2+((2A/x^2)-(4B/x^2))-((2A/x)+(2B/x))=0
Sedan började jag utveckla funktionen,
2B/x^2+2A/x^2-((2A/x)+(2B/x))=0
2B+2A/x^2-(2A+2B/x)=0
Eftersom det är ett minustecken innan parentesen, så omvandlas plustecknet i parentesen till ett minustecken.
2B+2A/x2 - 2A-2B/x=0
2B+2A-2A-2B/x^2-x=0
0/x=0
x(0/x)=0*x
0=0
0/x=0 känns lite skevt, så jag tänkte att det var bäst att fråga
Det verkar som du räknat rätt så jag förutsätter det här nedan . En sak som kan ge dig bekymmer är att du skriver hela ekvationen rakt igenom INNAN du vet om det verkligen blir en likhet (det är ju det man ska bevisa). Om man ska bevisa att en viss funktion är en lösning till en diff.ekv. så brukar man förenkla Höger och Vänster led var för sig, för att sedan konstatera om det råder likhet eller inte. Tänk på att högerledet 0 i diffekvationen INTE talet 0, utan betyder 0-funktionen dvs den som är 0 för alla värden på x.
Du kommer till 0/x=0 och tycker det ser mystiskt ut. Det mystiska ligger inte i själva det uttrycket, för 0/x är verkligen lika med 0, under förutsättning att x inte är 0. x är den oberoende variabeln. För att den givna funktionen ska uppfylla diff ekv måste den göra det för ALLA värden på den oberoende variabeln.
Okej, då kommer några följdfrågor, haha!
Ska jag alltså förenkla och flytta runt x^2y''+2xy'-2y=0 tills HL blir Ax+B/x^2? eller hur ska jag ställa upp det? Tror jag fastnar i förklarningen och överkomplicerar det.
Tack för hjälpen!
Börja med att sätta in y'', y' och y i VL av diffekvationen. Förenkla VL steg för steg. Till slut kommer du fram till att det krångliga uttrycket kan förenklas till 0 = HL och då är du framme.
Var det inte det jag gjorde? Eller skulle HL då vara Ax+B/x^2?
Nej, du skrev att nånting = 0 på varje rad.
Börja med VL =
= x2y'' + 2xy' - 2y =
= (sätt in derivatorna och funktionen) =
= (förenkla) =
= (förenkla lite till) =
= ... =
= 0 = HL
Verkar som du ser ekvation och förenkling som samma sak. Det är inte sant. Ber dig t ex observera, att när du följer Smaragdalenas råd och förenklar V.L, så får du inte bara multiplicera med x^2 för då ändrar du värdet på uttrycket. Detta är tillåtet i en EKVATION men inte i en FÖRENKLING. (Det är visserligen ekvationer du skrivit, men det är vad både Smaragdalena och jag protesterar mot att du gör.) Däremot är det tillåtet att FÖRLÄNGA uttrycket med x^2 d v s multiplicera både täljare och nämnare med x^2. Nämnaren får du sedan dras med ända tills du kan konstatera att täljaren blir = 0.
Men HL ska ändå vara 0? Bara att jag inte ska ändra värdet på uttrycket?
Innebär det att x^2(6b/x^4) inte får förenklas till 6b/x^2?
Jag förenklade igen och kom fram till,
x^2(6B/X^4)+2X(A-2B/X^3)-2(AX+B/X^2)=
= 6B/X^2+((2XA)-4BX/X^3)-((2AX)+2B/X^2)=
=6B/X^2-(4BX/X^3)-(2B/X^2)=
=6B/X^2-(4B/X^2)-(2B/X^2)=
=6B/X^2-6B/X^2=
=0=
=HL
1. HL Är 0 hela tiden, men skriv det inte förrän du förenklat klart VL.
2. Täljaren i uttrycket x^2(6b/x^4) ärx^2 * 6b och nämnaren är x^4) . De har båda den gemensamma faktorn x^2 som kan förkortas bort och det är tillåtet vid en förenkling. Det blir mitt svar på din sista fråga.
3. Förenklingen ser bra ut. Min slutknorr ser ut så här:
V.L. = .... = ... = 0
H.L = 0
Således V.L = H.L VSB (förkortning för "vilket skulle bevisas") Alltså lite annorlunda ut än Smaragdalenas, Hör av dig om du vill veta orsaken. Annars OK.
Så jag lägger till VL=HL VSB att y = Ax + B/x^2 är en lösning till x^2y'' + 2xy' - 2y = 0 i slutet för att avsluta det? :)
Tack så jättemycket för all hjälp!
