Differentialekvation

Du kan inte flytta över dy i steg 2, den står ju i täljaren

EnApelsin skrev:

Du kan inte flytta över dy i steg 2, den står ju i täljaren

Jag bör då flytta över dx ellerhur?

Ser metoden korrekt ut?

Kom på att jag bör formulera om allt

Lovelita skrev:

Uppgiften:

$$\begin{gathered} Bestäm alla lösningar till differentialekvationen \\ x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} = 0 \end{gathered}$$

Jag har gjort såhär:

$$\begin{gathered} y\sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} = -x\sqrt{1+y^2} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} dx =-\frac{\sqrt{1+y^2}}{y} dy \end{gathered}$$

Nu vill jag ta integralen 

$\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} dx = -\int \frac{\sqrt{1+y^2}}{y} dy$

Dessvärre tar det stopp för mig här. Har ingen aning om vad jag bör göra härnäst? Är jag på rätt väg?

Du har gjort lite fel! Integralerna ska vara:

$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dx$

Och de går bra att integrera.

henrikus skrev:

Lovelita skrev:

Uppgiften:

$$\begin{gathered} Bestäm alla lösningar till differentialekvationen \\ x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} = 0 \end{gathered}$$

Jag har gjort såhär:

$$\begin{gathered} y\sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} = -x\sqrt{1+y^2} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} dx =-\frac{\sqrt{1+y^2}}{y} dy \end{gathered}$$

Nu vill jag ta integralen 

$\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} dx = -\int \frac{\sqrt{1+y^2}}{y} dy$

Dessvärre tar det stopp för mig här. Har ingen aning om vad jag bör göra härnäst? Är jag på rätt väg?

Du har gjort lite fel! Integralerna ska vara:

$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dx$

Och de går bra att integrera.

Tack!

Undrar vad skillnaden hade varit i uträkningen, om det istället stod 

$x\sqrt{1+y^2} dx + y\sqrt{1+x^2} dy = 0$

Vad utför dy/dx för syfte just där den är placerad egentligen?

Det hade inte varit någon men normalt har man differentialekvationer på den första formen med dy/dx ihop. Ser att jag har missat att det ska vara ett minustecken framför den andra integralen.

henrikus skrev:

Det hade inte varit någon men normalt har man differentialekvationer på den första formen med dy/dx ihop. Ser att jag har missat att det ska vara ett minustecken framför den andra integralen.

Tack ska du ha! Jag återkommer till denna uppgift senare.

henrikus skrev:

Det hade inte varit någon men normalt har man differentialekvationer på den första formen med dy/dx ihop. Ser att jag har missat att det ska vara ett minustecken framför den andra integralen.

Såhär långt har jag kommit med uträkningen:

$$\begin{gathered} Bestäm alla lösningar till differentialekvationen: \\ x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx}=0 \\ Först börjar vi med att ta fram integralerna som är \\ \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}} dx \\ Vi integrerar respektive led genom substitution \\ 1+x^2=u och 1+y^2=w \\ xdx blir \frac{1}{2}du ydy blir \frac{1}{2}dw. \\ Tar ut kons\tan ten \\ \frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2}\int \frac{dw}{\sqrt{w}} \\ \frac{u^{{\displaystyle \frac{-1}{2}}}}{{\displaystyle \frac{-1}{2}}+1} = \frac{w^{{\displaystyle \frac{-1}{2}+1}}}{{\displaystyle \frac{-1}{2}+1}} \\ \sqrt{1+x^2} = -\sqrt{1+y^2} + C \\ Svaret blir då \\ \sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+y^2} = C \end{gathered}$$

Är jag på rätt spår?

Rätt spår ja. Du behöver ha dy i ena integralen, istället för dx. Och så vill du lösa ut y innan det är ett färdigt svar.

Micimacko skrev:

Rätt spår ja. Du behöver ha dy i ena integralen, istället för dx. Och så vill du lösa ut y innan det är ett färdigt svar.

Tack för svar! 
Kanske är självklart men skulle du kunna förtydliga vad du menar med att lösa ut y i det här fallet?

Lovelita skrev:

Micimacko skrev:

Rätt spår ja. Du behöver ha dy i ena integralen, istället för dx. Och så vill du lösa ut y innan det är ett färdigt svar.

Tack för svar! 
Kanske är självklart men skulle du kunna förtydliga vad du menar med att lösa ut y i det här fallet?

Du vill skriva y = f(x)

henrikus skrev:

Lovelita skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Rätt spår ja. Du behöver ha dy i ena integralen, istället för dx. Och så vill du lösa ut y innan det är ett färdigt svar.

Tack för svar! 
Kanske är självklart men skulle du kunna förtydliga vad du menar med att lösa ut y i det här fallet?

Du vill skriva y = f(x)

Blir det då inte bara 

$y=\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+y^2}\hspace{0.17em}= C$?

Det skall inte finnas något y i HL.

Smaragdalena skrev:

Det skall inte finnas något y i HL.

Ah, okej! Skall testa mig fram och återkomma om jag fortfarande har frågor :)

Får fortfarande inte till detta med att lösa ut y. 

Jag har ju skrivit på implicit form nämligen,

$\sqrt{1+x^2}=-\sqrt{1+y^2}+C$.

Nu återstår det att skriva den på explicit form, där lösningen y uttrycks direkt. Men jag vet inte hur jag kan göra det med rottecknet jag har?

Börja med att se till att du bara får ett rotuttryck med y i på ena sidan. Hur ser det ut när du har gjort det?

Smaragdalena skrev:

Börja med att se till att du bara får ett rotuttryck med y i på ena sidan. Hur ser det ut när du har gjort det?

Jag får

$y=\sqrt{c^2}-2c\sqrt{1+x^2}+x^2$

Varför har du en rot på c2?

Micimacko skrev:

Varför har du en rot på c2?

Oj, gjorde lite fel med rotuttrycket, såhär ska det vara:

y=$\sqrt{c^2-2c\sqrt{1+x^2}+x^2}$

Lovelita skrev:

Micimacko skrev:

Varför har du en rot på c2?

Oj, gjorde lite fel med rotuttrycket, såhär ska det vara:

y=$\sqrt{c^2-2c\sqrt{1+x^2}+x^2}$

Ser det rätt ut?  (nu råkade jag göra dubbelinlägg, det var ej meningen skulle redigera förgående inlägg)

Nej, ser konstigt ut. Hur får du fram det, om vi tar ett steg i taget?

Micimacko skrev:

Nej, ser konstigt ut. Hur får du fram det, om vi tar ett steg i taget?

Här är uträkningen:

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{1+y^2}\right)}^2 = {(C-\sqrt{1+x^2})}^2 \\ 1+y^2={(C-\sqrt{1+x^2})}^2 \\ 1+y^2=C^2-2C\sqrt{1+x^2}+1+x^2 \\ {y}^2=C^2-2C\sqrt{1+x^2}+x^2 \\ y=\sqrt{C^2-2c\sqrt{1+x^2}+x^2} \end{gathered}$$

Det stämmer, förlåt jag höll på med en nästan likadan uppgift samtidigt och rörde ihop. 🙈

Micimacko skrev:

Det stämmer, förlåt jag höll på med en nästan likadan uppgift samtidigt och rörde ihop. 🙈

Åh, vad skönt!! Äntligen är jag då klar med denna uppgift :)

Tack för hjälpen!