Differentialekvation

Hej!

Vad fick du för $y_{h}$?

yh fick jag C1e^x + C2e^2x, där C1 och C2 är godtyckliga konstanter. När jag försökte lösa yp så började med att derivera ansatsen och sätta in första och andraderivatan i ekvationen, men A värdet försvinner.

Prova att göra koefficienten "mer generell" med ett förstagradspolynom istället för en konstant: $y_p = (ax+b)e^x$. 

Hej,

Metoden Variation av koefficienter går ut på att skapa en ansats där konstanten $A$ ersätts med en funktion $A(x)$. Därefter identifierar du vilka funktioner $A(x)$ som passar ihop med den givna differentialekvationen.

Här ansätter du alltså partikulärlösningen $y(x)=A(x)e^{x}$ som ger förstaderivatan

    $y^\prime(x)=\{A^\prime(x)+A(x)\}\cdot e^x$

och andraderivatan

    $y^{''}(x) = \{A^{''}(x)+2A^\prime(x)+A(x)\}e^x$.

Insättning i den givna differentialekvationen ger en motsvarande differentialekvation som funktionen $A(x)$ måste uppfylla.

    $\displaystyle A^{''}\left(x\right)-A^\prime\left(x\right)-A\left(x\right)=0.$

Lösningar till denna ekvation är

    $A(x)=C_1e^{ax}+C_2e^{bx}$

där $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ och $b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Skaft skrev:

Prova att göra koefficienten "mer generell" med ett förstagradspolynom istället för en konstant: $y_p = (ax+b)e^x$. 

Jag testade göra det här, men tyckte att det blev bökigt i slutet för jag visste inte hur jag skulle avläsa mina a och b värden efter att jag bröt ut e^x från båda leden.

Om du har $y_p = (ax+b)e^x$ så kan derivatorna skrivas

$y_p^\prime = ae^x + y_p\\ y_p^{\prime\prime} = 2ae^x + y_p$

Ekvationens vänsterled $y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y$ blir då:

$(2ae^x + y_p)-3(ae^x + y_p)+2y_p$

dvs bara $-ae^x$, alla $y_p$ tar ut varann. För att detta ska vara lika med högerledet $e^x$ måste alltså $a=-1$. $b$ kan däremot väljas godtyckligt, och när du lägger ihop $y_h+y_p$ kan $b$ "smälta ihop" med $C_1$ som också är en godtycklig koefficient till $e^x$.

Skaft skrev:

Om du har $y_p = (ax+b)e^x$ så kan derivatorna skrivas

$y_p^\prime = ae^x + y_p\\ y_p^{\prime\prime} = 2ae^x + y_p$

Ekvationens vänsterled $y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y$ blir då:

$(2ae^x + y_p)-3(ae^x + y_p)+2y_p$

dvs bara $-ae^x$, alla $y_p$ tar ut varann. För att detta ska vara lika med högerledet $e^x$ måste alltså $a=-1$. $b$ kan däremot väljas godtyckligt, och när du lägger ihop $y_h+y_p$ kan $b$ "smälta ihop" med $C_1$ som också är en godtycklig koefficient till $e^x$.

Om yp = (ax+b)*e^x,  borde inte yp' = e^x(ax+b+a), eller är jag helt ute och cyklar?

Jo, det stämmer. Men det kan du skriva om som:

$y_p^\prime = (ax+b+a)e^x = (ax+b)e^x+ae^x$

Och eftersom $y_p = (ax+b)e^x$, så får vi att

$y_p^\prime = y_p+ae^x$

Att "återanvända" $y_p$ för att beskriva derivatorna är inte nödvändigt, men det kan underlätta. Förenklar förenklandet, så att säga =)