Differentialekvation

Vad säger facit att hela lösningen är? Din lösning verkar stämma med det homigena fallet (alltså att resultatet av vänsterledet blir 0).

lösningen till uppgiften är 𝑦(𝑡) = sin 𝑡 + sin(2𝑡), alltså y = y_h+y_p.

Du måste ha med partikulärlösningen när du sätter in begynnelsevillkoren.

Hej,

Om du formulerar din differentialekvation på matrisform så kan du skriva den som en första ordningens ekvation som hanteras med integrerande faktor. Då behöver du inte studera homogenlösningar och partikulärlösning separat utan istället hanterar du dessa i ett enda svep.

Inför funktionen $u(t) = y^\prime(t)$ så att din differentialekvation kan skrivas på matrisform:

    $\displaystyle x^\prime\left(t\right)+Ax\left(t\right)=b\left(t\right)$

där vektor

    $x(t)=\begin{pmatrix}u(t)\\y(t)\end{pmatrix}$

och vektor

    $b(t)=-3\sin 2t\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=-3\sin 2t \cdot \mathbf{1}$

samt matris $A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$

Matrisekvationens lösning  ges via integrerande faktor till

    $\displaystyle x\left(t\right) = e^{-tA}x\left(0\right)-3\sin 2t \cdot e^{-tA}\int_0^t e^{uA}\mathbf{1}\,du$

där $e^{tA}$ betecknar matrisexponentialen för $A$; för den aktuella matrisen $A$ blir

    $e^{tA}=E\cos t + A\sin t$

där $E$ betecknar enhetsmatrisen av typ $2\times 2$; här är begynnelsevektorn $x(0)=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=3\cdot \mathbf{1}$ varför

    $\displaystyle x\left(t\right)=3e^{-tA}\mathbf{1}-3\sin 2t\cdot e^{-tA}\int_0^t e^{uA}\mathbf{1}\,du.$