Differentialekvation

Vad betyder det att en funktion har en extrempunkt? Hur hittar man en sån?

Hej!

För att lösningen f(x) ska ha en extrempunkt i punkten (0,12) krävs två saker:

1. Funktionen går genom punkten, alltså f(0) = 12
2. Derivatan är 0 för x=0.

Vi får alltså ett ekvationssystem med följande två samband:

$C_1{e}^{-6\times 0}+C_2{e}^{2\times 0} = 12$

$f\text{'}(C_1{e}^{-6\times 0}+C_2{e}^{2\times 0}) = 0$

Tänk på att de två C-variablerna kan vara olika. Testa att lösa därifrån, och hojta om du kör fast :)

f'(0)=-6*Ce^0+2*Ce^0)=12

Är det rätt? Isåfall blir ju C=-3 och C=9?

Varför sätter du f' till 12?? Och du ska inte ha 2 st C, det är olika siffror. Kalla dem tex C och D istället.

Är det f''(0) jag ska leta efter?

Du har fått 2 ekvationer serverade högre upp. Använd dem. Båda två.

Ska jag sätta dem lika med varandra? Fattar inte...

Den första står det ska vara lika med 0 och den andra med 12.

f'(x)=-6C+2C=12

C=-3

?

Tror det är flera olika saker som orsakar problem här, så vi tar en i taget.

Till att börja med är det två C:na du skrivit i $C{e}^{-6x}+C{e}^{2x}$ olika variabler. Jag föreslår att döpa om dem till $C_1$ och $C_2$.

Där funktionen har en extrempunkt behöver derivatan vara 0 (grafen lutar ju varken uppåt eller nedåt i en topp eller dal). Alltså $f\text{'}\left(x\right) = 0$. Du har deriverat korrekt ovan (förutom att $C_1$ och $C_2$ måste särskiljas), men det ska alltså ställas lika med 0, inte 12.

Den andra delen av ekvationssystemet är $f\left(0\right) = 12$, dvs $C_1{e}^{-6\times 0}+C_2{e}^{2\times 0} = 12$. Jag skulle börjat med denna delen (Tips: Det går att förenkla väldigt mycket i och med att exponenterna blir 0). Här förenklar du tills du exempelvis har $C_1 = något$, varefter du kan byta ut alla $C_1$ mot detta $något$ i den andra ekvationen. Utifrån det bör du få ett värde på $C_2$

Tack för svar.

Jag ska alltså byta ut till (något)*1+C2e^0=12?

Nästan. Du får ju $C_1 =\hspace{0.17em}något$ från den ekvationen, så om du stoppar in det i samma ekvation igen kommer du inte få någon ny information (du kommer bara fram till att till exempel $C_2 =\hspace{0.17em}{C}_2$).

Istället måste vi stoppa in det i den andra ekvationen ($-6*C_1{e}^0+2*C_2{e}^0=0$), dvs $-6*\left(något\right)e^0+2*C_2{e}^0=0$.

Men börja med att hitta var $något$ är för uttryck, och ta det därifrån :)