Differentialekvation

Hej igen!

Har problem med den här uppgiften.

Bestäm en homogen differentialekvation av andra ordningen vars allmänna lösning

är

Y=Ce^2x+De^-2x

Förstår att det går att skriva på formeln

y''+ay'+by=0

och r^2+ar+b=0.

Vet dock inte hur jag kommer vidare.

Lösningen är ju e^rx, och genom att jämföra med allmänna lösningen, borde ju r vara -2 och 2. Vet dock inte hur jag skriver detta matematiskt.

Utmärkt! Tänk nu på hur vi gör om vi har motsatt problem – vi har en ekvation men ingen lösning. Om den karaktäristiska ekvationen ger oss lösningarna $x_{1} = a$ , $x_{2} = b$ , vilken allmän lösning får vi då? :)

Lösningen blir väl y=c*e^-ax antar jag?

Hur får jag fram -2 och 2?

Pq-formeln?

Nja, för andra gradens diffar är lösningen $y = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}$ , om de två lösningarna till den karaktäristiska ekvationen är olika. Vilka lösningar har vi då till den karaktäristiska ekvationen i detta fall? :)

Lösningarna är väl -2 och 2?

Tror jag rör ihop begreppen lösningar här.

Ja, lösningarna är $r_{1} = 2, r_{2} = - 2$ . Nu vill vi hitta på en ekvation på formen $r^{2} + a r + b = 0$ , vars lösningar är just r₁och r₂. :)

Hur hittar jag den ekvationen?

Vi kan sätta in våra två rötter, och bestämma a och b så att likheten stämmer. Vi sätter in första roten:

${(2)}^{2} + a \cdot 2 + b = 0 \Leftrightarrow 2 a + b = - 4$

Den andra roten ger:

${(- 2)}^{2} + a \cdot (- 2) + b = 0 \Leftrightarrow b - 2 a = - 4$

Vi har nu två ekvationer och två obekanta. Vi har med andra ord ett ekvationssystem vi kan lösa. :)

Så ekvationen är r^2+0r-4?

Japp!

Stort Tack för hjälpen!

Varsågod! :)

Ni är bäst! :)

Svara

Visa senaste svar