differentialekvation

U är en funktion av t, felet i din uträkning är att du integrerar vänstersidan med t som variabel, men u på högersidan, så där missar du att det ska finnas en inre derivata att äta upp. Man kan ha olika variabler på olika sidor om man börjar med samma och sen gör ett variabelbyte.

Tack för svar! Men hur får du ${\int }_{}\frac{1}{u}du$ från det tidigare ledet?

Hej,

Du vill finna alla funktioner $u(x)$ sådana att deras derivata $u^\prime(x)$ alltid är lika med $3 \cdot u(x)$, samt att funktionsvärdet $u(0)$ är lika med $2$.

    $\displaystyle\frac{d u(x)}{dx} = 3 \cdot u(x) \Longleftrightarrow \frac{1}{u(x)}\,du(x) = 3 \,dx$

Integrera denna ekvation för att få följande formel.

    $\displaystyle\int \frac{1}{u(x)}\,du(x) = \int 3\,dx \Longleftrightarrow \ln |u(x)| = 3x + \ln C$

där $C$ är en positiv konstant som bestäms av informationen om funktionsvärdet $u(0)$; informationen om $u(0)$ ger att

    $\displaystyle\ln |u(0)| = 3 \cdot 0 + \ln C \iff \ln 2 = \ln C \iff C = 2$.

Den sökta funktionen är alltså

    $\displaystyle u(x) = 2 \cdot e^{3x}$ där $-\infty < x < \infty.$

Kontroll: Derivatan är lika med funktionen

    $\displaystyle u^\prime(x) = 2\cdot 3 \cdot e^{3x} = 3 \cdot (2 \cdot e^{3x})$

som uppenbarligen är samma sak som produkten $3 \cdot u(x)$; det gäller även att $u(0) = 2 \cdot e^{3\cdot 0} = 2\cdot 1 = 2$ som önskat.

Hur brukar du byta variabel i en integral?

Micimacko skrev:

Hur brukar du byta variabel i en integral?

så långt har vi inte kommit än! hur gör man det?

Det borde komma många kurser innan 😳

Kolla tex här, finns nog en del bra på Youtube också.

http://www.matteguiden.se/matte-f/integraler/variabelsubstitution/