Differentialekvation

Det uppgiften menar är att med hjälp av dV/dr dvs derivatan av funktionen för klotets volym och dr/dt räkna ut dV/dt. Det står att denna hastighet av volymens ökning är konstant. Så använd denna förändringshastighet för att beräkna hur lång tid det tar att blåsa upp till volymen 6,2 liter

Välkommen till Pluggakuten!

e_i01 skrev:

Jag förstår att dr/dt är 4,1 cm/s

Försiktigt: Det står att 4.1 är radiens förändringshastighet precis då radien är 5.8 cm. Det betyder inte att dr/dt = 4.1 cm/s, dvs att radien förändras med den konstanta hastigheten 4.1 cm/s. Det vet vi inte. Det vi däremot vet är att volymen förändras med konstant hastighet. Alltså ska hela kedjeregelsuttrycket bli en konstant, för det är detta som beskriver volymens förändringshastighet:

$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot \dfrac{dr}{dt} = C$

Vi vet också vad $\dfrac{dV}{dr}$ är, det är derivatan av volymfunktionen - den kan i stort sett hämtas från formelsamlingen. Väl där kan vi klura på hur den givna informationen kan användas i ekvationen ovan.

Vad är då dr/dt?

dr/dt är hur fort radien förändras. Det är förmodligen en ickekonstant funktion av tiden. Utgå från det du vet, att dV/dt är konstant, och volymen för en sfär som funktion av radien. Derivera volymen så får du dV/dr. Sen får du ett uttryck för dr/dt så du kan lösa en differentialekvation och få r som funktion av t. Till slut sätter du in V = 6,2 och ser vad r och t blir.

Det jag har är ju:

dV/dt = 4•pi•r^2 • dr/dt

Jag har bara svårt att se hur jag ska fortsätta.

$C = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$. Det är din differentialekvation. Vet du hur man löser den?

Nej

e_i01 skrev:

Det jag har är ju:

dV/dt = 4•pi•r^2 • dr/dt

Jag har bara svårt att se hur jag ska fortsätta.

Du vet att när radien är 5.8 cm, så är dr/dt 4.1 cm/s. Så dessa värden kan du sätta in:

$\dfrac{dV}{dt} = 4\pi\cdot 5.8^2 \cdot 4.1$