Differentialekvation

Kan det vara så att ditt högerled $xG'(x)$ ska vara $xG(x)$? Annars får jag inte ihop det.

Tyvärr ska det vara $xG'(x)$ i högerledet.

Jag har lyckats få fram en lösning för fallet där G(x) är en likformig fördelning Re(c,d) och därmed $G(x)=\frac{x-c}{d-c}$. Men min handledare överträffade mig genom att lösa differentialekvationen för den allmäna formen där fördelningstyp ej är bestämd. Jag kan posta min Re(c,d)-lösning om det kan vara till hjälp?

Obs redigerat inlägg. Jag skrev G(x) fel först.

blue_sky2 skrev:

Tyvärr ska det vara $xG'(x)$ i högerledet.

Jag får framhärda i att det borde vara $xG(x)$ om lösningen ska stämma. Om jag deriverar den lösningen och tar fram $\beta ' G + \beta G'$ får jag precis $-K G' + xG$.

Hur som helst: De två första termerna kan du skriva om med hjälp av produktregeln. Sen kan du ta fram $\beta G$ genom att integrera båda led, och sen få fram $\beta$ genom att dividera bort G.

Intressant, tack!

När jag testräknar efter dina instruktioner så får jag även en till konstant B vid integrering, min funktion blir då:

$\beta = \frac{1}{G} \int x G' dx - K - \frac{KB}{G} - \frac{A}{G}$

Är jag ute och cyklar eller är detta korrekt?

Jag antar att du gör något i stil med det här då:

$f'(x) = g'(x) \\ \int f'(x) dx = \int g'(x) dx \\ f(x) + C_1 = g(x) + C_2$.

Alltså, två integraler, två konstanter? Men kom ihåg varför konstanten läggs till alls: Att två derivator är lika betyder bara att funktionerna som deriverats har samma form, att de lutar lika mycket för varje x-värde. Men de två kurvorna kan ligga på helt olika höjdnivåer - den informationen försvinner i deriveringen. Så att y' = 2x betyder att y har samma lutning som x^2 i varje x, men höjdskillnaden mellan de två kurvorna kan vara vad som helst (fast samma överallt): y = x^2 + C.

Den här höjdskillnadslogiken är precis likadan när man går från $f'(x) = g'(x)$ och integrerar båda led. Derivatorna är lika, så ursprungsfunktionerna måste vara lika, sånär som på en godtycklig höjdskillnad: f(x) = g(x) + C. Det behövs alltså bara en konstant. Och konstanten kan ju väljas fritt: negativa tal är inkluderade. Därför behöver du inte tänka på tecknet; + C representerar redan "alla tal" och är därför samma som -C.

Tack för svaret! Jag tror att jag förstår hur du menar. Men blir det inte lite annorlunda eftersom att den ena konstanten är fristående och den andra sitter ihop med den tidigare konstanten K? Eftersom att vi vid integrering av båda sidorna får en konstant som sitter ihop med K och en som är fri så tänker jag att vi borde behålla båda. Eller gör jag något fel?

$f'(x) = Kg'(x)$

$\int f'(x) = \int Kg'(x)$

$\int f'(x) = K \int g'(x)$

$f(x) + C_1 = K(g(x) + C_2)$

K är ju också bara en konstant. De två sista termerna i din lösning kan slås ihop till $-(KB+A)/G(x)$. Kom ihåg nu att K är ett specifikt (men okänt) tal, medan A och B är helt godtyckliga tal - de kan väljas till vad som helst. Vilka tal kan vi då bygga av KB+A? Eller snarare, finns det något tal vi *inte* kan bygga? Svaret är nej, för vi kan t.ex. välja B=0, och sen välja A till vad som helst. Då är det tydligt att K inte spelar någon som helst roll i den här termen. Därför kan termen sammanfattas som C/G(x), dvs bara med en enda, godtycklig konstant i täljaren. 

Jag förstår. Tack!