Differentialekvation

Inför funktionen w(u,v) = 2z'_v(u,v) så att part.diffen blir 2w'_u-w=0. Lös denna för att få w(u,v) = ...+ f(v) för en godtycklig funktion f av variablen v. Detta ger part.diffen z'_v = 0.5...+0.5f(v). Lös denna för att få z(u,v) = ... + F(v) + c där c är en godtycklig konstant och F är en primitiv till f.

Albiki skrev:

Inför funktionen w(u,v) = 2z'_v(u,v) så att part.diffen blir 2w'_u-w=0.

 Hamnar jag inte i samma situation som jag redan är i då? I "2w'_u-w=0" kan jag integrera "2w'_u" 1 gång men "w" kan jag integrera noll gånger. Hur får jag ut 'w'? Måste jag inte bli av med en av 'w' termerna för att få ut en konkret definition för 'w'? Integrerar jag båda termer så får jag ju 'w - W=0' (W= primitiv funktion av w). Flyttar jag W till HL får jag w=W, vilket säger att w är lika med sin egna primitiva funktion...

Troligen är jag bara dum i huvudet haha. Jag missar säkert någonting väldigt uppenbart här.

När du vet w så ger det ekvationen z'_v = 0.5w som du kan integrera med avseende på v för att få z. 

Ett annat alternativ är väl att använda sig av integrerande faktor. 

När man integrerat med avseende på $v$ en gång får man ju:

$4z'_u-2z=\alpha_1(u)$

vilket kan omvandlas till:

$z'_u-\dfrac{z}{2}=\alpha_2\left(u\right)$

(jag låter $\alpha_n(u)$ beteckna en godtycklig funktion av $u$)

Härifrån går det ju att använda integrerande faktor med $e^{-\frac{u}{2}}$:

$z'_ue^{-\frac{u}{2}}-\dfrac{z}{2}e^{-\frac{u}{2}}=e^{-\frac{u}{2}}\alpha_2\left(u\right)$

$(ze^{-\frac{u}{2}})'_u=\alpha_3\left(u\right)$

$\displaystyle\int\left(ze^{-\frac{u}{2}}\right)'_u\ du=\int\alpha_3\left(u\right)\ du$

$ze^{-\frac{u}{2}}=\alpha_4\left(u\right)+\beta\left(v\right)\ \ \ \ \ \$ (där $\beta(v)$ betecknar en godtycklig funktion av $v$)

$ze^{-\frac{u}{2}}\cdot e^{\frac{u}{2}}=e^{\frac{u}{2}}\cdot\alpha_4\left(u\right)+e^{\frac{u}{2}}\cdot\beta\left(v\right)$

$z=\alpha_5\left(u\right)+e^{\frac{u}{2}}\beta\left(v\right)$

Hänger du med på det?

EDIT: Hade slarvat och skrivit $\beta(u)$ istället för $\beta(v)$. Det är nu tillrättat.

EDIT 2: Tydligen hade jag slarvat med integrerande faktorn också. Jag får bakläxa. Nu har jag dock kontrollräknat allting så det bör stämma.

Ändrade $2z$ till $\frac{z}{2}$, se nedan.

AlvinB skrev:

 

 

Härifrån går det ju att använda integrerande faktor med $e^{-\frac{u}{2}}$:

$z'_ue^{-\frac{u}{2}}-2ze^{-\frac{u}{2}}=e^{-\frac{u}{2}}\alpha_2\left(u\right)$

 

 Var kommer 2:an framför 'z' ifrån? Borde det inte vara $z{\text{'}}_u{e}^{-\frac{u}{2}}-\frac{1}{2}z{e}^{-\frac{u}{2}} = e^{-\frac{u}{2}}{a}_2\left(u\right)$ ?

EDIT: Jag förstår uträkningarna ändå fram till näst sista steget. Var kommer helt plötsligt den integrerande faktorn $e^{\frac{u}{2}}$ från?

Jo, det skall vara precis som du säger. Det är jag som slarvat. Har ändrat det nu.

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför $z$. I detta fallet står det $-\frac{1}{2}$ framför $z$, och alltså får vi $e^{-\frac{u}{2}}$.

AlvinB skrev:

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför $z$. I detta fallet står det $-\frac{1}{2}$ framför $z$, och alltså får vi $e^{-\frac{u}{2}}$.

 Nej, jag syftade på den integrerande faktorn i näst sista steget. Den med den positiva exponenten (istället för negativa), $e^{\frac{u}{2}}$. Allstå vad händer mellan steg 6 och 7?

EDIT: Ignorera min kommentar haha. Det är jag som är dum i huvudet. Du multiplicerar med $e^{\frac{u}{2}}$ för att bli av med $e^{-\frac{u}{2}}$ i vänsterledet. Ibland tänker jag inte med huvudet...

Nide skrev:

AlvinB skrev:

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför $z$. I detta fallet står det $-\frac{1}{2}$ framför $z$, och alltså får vi $e^{-\frac{u}{2}}$.

 Nej, jag syftade på den integrerande faktorn i näst sista steget. Den med den positiva exponenten (istället för negativa), $e^{\frac{u}{2}}$. Allstå vad händer mellan steg 6 och 7?

EDIT: Ignorera min kommentar haha. Det är jag som är dum i huvudet. Du multiplicerar med $e^{\frac{u}{2}}$ för att bli av med $e^{-\frac{u}{2}}$ i vänsterledet. Ibland tänker jag inte med huvudet...

 Det händer oss alla. :-)

Förresten, jag blir lite nyfiken, vad har du för metod för att få fram $4z''_{uv}+2z'_v$? Jag använde kedjeregeln, men det tog en och en halv A4 med beräkningar...

AlvinB skrev:

Nide skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Den integrerande faktorn kommer ju av att vi tar e upphöjt till den primitiva funktionen av faktorn framför $z$. I detta fallet står det $-\frac{1}{2}$ framför $z$, och alltså får vi $e^{-\frac{u}{2}}$.

 Nej, jag syftade på den integrerande faktorn i näst sista steget. Den med den positiva exponenten (istället för negativa), $e^{\frac{u}{2}}$. Allstå vad händer mellan steg 6 och 7?

EDIT: Ignorera min kommentar haha. Det är jag som är dum i huvudet. Du multiplicerar med $e^{\frac{u}{2}}$ för att bli av med $e^{-\frac{u}{2}}$ i vänsterledet. Ibland tänker jag inte med huvudet...

 Det händer oss alla. :-)

Förresten, jag blir lite nyfiken, vad har du för metod för att få fram $4z''_{uv}+2z'_v$? Jag använde kedjeregeln, men det tog en och en halv A4 med beräkningar...

 Kedjeregeln japp. Tog en hel A4 för mig också. Därför gillar jag inte att göra transformationer av andraderivator haha.