differentialekvation

Din lärare har skrivit HL som $y^{1-n}$, du har skrivit HL som $y^{n-1}$. Varför?

Jag har ändrat det nu! Det var bara första raden som är fel.

Sen det jag gör är att dividera med y^(1-n) för att få det på dy sidan

därefter bryter jag ut en minustecken y^(1-n) =y^-(-1+n) och få upp det på täljaren. Därför blir det y^(n-1)

Du har tappat bort dx i HL på andra raden. På något sätt har du fått dy i HL på tredje raden - så skall det inte vara. Sedan kändes det inte meningsfukkt att försöka förstå mer.

Smaragdalena skrev:

Du har tappat bort dx i HL på andra raden. På något sätt har du fått dy i HL på tredje raden - så skall det inte vara. Sedan kändes det inte meningsfukkt att försöka förstå mer.

 Nu har jag uppdaterat och fixat till de misstagen och visat lite tydligare hur jag tänkte.

Men jag kommer ändå ingenstans med denna lösningen. Kan du se ett mönster?

Hej!

Texten säger att integralen $\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ ska vara proportionell mot funktionen $f(x)^{n+1}.$

    $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.$

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    $f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.$

Differentialekvationen är separabel och kan skrivas

    $\displaystyle\int \frac{1}{f(x)^{1-n}}\,df(x) = \int \frac{1}{k(n+1)}\,dx\ , \quad x\geq 0$.

Om $1-n\neq 1$ så är ekvationen samma sak som

    $\frac{1}{n}f(x)^{n} = C + \frac{x}{k(n+1)};$

annars är ekvationen samma sak som

    $f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x) = 0\ , \quad x\geq 0.$

Om $n\neq 0$ så ger kravet $f(0) = 0$ att $C = 0$ och kravet $f(1) = 1$ bestämmer konstanten $k$.

Om $n=0$ så är funktionen $f(x) = Ce^{\frac{x}{k(n+1)}}$ (för $x\geq 0$) och kravet $f(0) = 0$ ger kravet $C = 0$, så funktionen $f(x) = 0$ för alla $x$; kravet $f(1) = 1$ kan alltså inte uppfyllas. Därför kan fallet $n=0$ inte uppstå.

Albiki skrev:

Hej!

Texten säger att integralen $\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ ska vara proportionell mot funktionen $f(x)^{n+1}.$

    $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.$

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    $f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.$

 Kan ni visa hur ni tänker? Jag kommer ingenstans!!

Albiki skrev:

Differentialekvationen är separabel och kan skrivas

    $\displaystyle\int \frac{1}{f(x)^{1-n}}\,df(x) = \int \frac{1}{k(n+1)}\,dx\ , \quad x\geq 0$.

Om $1-n\neq 1$ så är ekvationen samma sak som

    $\frac{1}{n}f(x)^{n} = C + \frac{x}{k(n+1)};$

annars är ekvationen samma sak som

    $f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x) = 0\ , \quad x\geq 0.$

Om $n\neq 0$ så ger kravet $f(0) = 0$ att $C = 0$ och kravet $f(1) = 1$ bestämmer konstanten $k$.

Om $n=0$ så är funktionen $f(x) = Ce^{\frac{x}{k(n+1)}}$ (för $x\geq 0$) och kravet $f(0) = 0$ ger kravet $C = 0$, så funktionen $f(x) = 0$ för alla $x$; kravet $f(1) = 1$ kan alltså inte uppfyllas. Därför kan fallet $n=0$ inte uppstå.

 Oki nu känns det lite mer tydligare. Jag måste sitta o lugn och ro och försöka fatta detta steg för steg!

Tack för hjälpen i alla fall!

Dude.96 skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Texten säger att integralen $\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ ska vara proportionell mot funktionen $f(x)^{n+1}.$

    $\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.$

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    $f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.$

 Kan ni visa hur ni tänker? Jag kommer ingenstans!!

•  Om du deriverar $\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ med avseende på $x$ så får du $f(x)$. Detta är Integralkalylens fundamentalsats.
• Om du deriverar $f(x)^{n+1}$ med avseende på x så får du $(n+1)f(x)^{n}\cdot f'(x)$. Detta är Kedjeregeln.