9 svar
72 visningar
Dude.96 39 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 16:06 Redigerad: 11 jan 2019 17:18

differentialekvation

Hej!

 

Har tenta om ett par dagar. Har fastnat helt och hållet på denna teorifrågan. 

" Bestäm en funktion f(x) sådan att f(x)0,  f(0)=0, f(1)=1, och arean under kurvan y(x) mellan 0 och x är proportionell f(x)n+1.

En kommentar från läraren ser ut så här:

 Jag har dock svårt att hitta integralen. Jag har tänkt så här typ:

k(n+1)dydx=y1-ndyy(1-n)=1k(n+1)dxdyy-(n-1)=1k(n+1)dx   (Notera: bryter ut ett minus tecken)yn-1dy=1k(n+1)dxynn=xk(n+1)+C   (ty yn-1dy=yn-1+1n-1+1=ynn)Så vi har att ynn=xk(n+1)+C

Vi vet också att f(0)=0 och f(1)=1

Svaret ska bli y=x1n

Om mitt resonemang stämmer, hur går man vidare!

 

Tack!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 11 jan 2019 16:24

Din lärare har skrivit HL som y1-ny^{1-n}, du har skrivit HL som yn-1y^{n-1}. Varför?

Dude.96 39 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 16:30 Redigerad: 11 jan 2019 16:31

Jag har ändrat det nu! Det var bara första raden som är fel.

Sen det jag gör är att dividera med y^(1-n) för att få det på dy sidan

därefter bryter jag ut en minustecken y^(1-n) =y^-(-1+n) och få upp det på täljaren. Därför blir det y^(n-1)

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 11 jan 2019 16:52

Du har tappat bort dx i HL på andra raden. På något sätt har du fått dy i HL på tredje raden - så skall det inte vara. Sedan kändes det inte meningsfukkt att försöka förstå mer.

Dude.96 39 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 17:21
Smaragdalena skrev:

Du har tappat bort dx i HL på andra raden. På något sätt har du fått dy i HL på tredje raden - så skall det inte vara. Sedan kändes det inte meningsfukkt att försöka förstå mer.

 Nu har jag uppdaterat och fixat till de misstagen och visat lite tydligare hur jag tänkte.

Men jag kommer ändå ingenstans med denna lösningen. Kan du se ett mönster?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 17:32

Hej!

Texten säger att integralen 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt ska vara proportionell mot funktionen f(x)n+1.f(x)^{n+1}.

    0xf(t)dt=k·f(x)n+1 ,  x0.\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    f(x)=k·(n+1)f(x)n·f'(x)f'(x)-1k(n+1)f(x)1-n=0 ,  x>0.f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 17:45 Redigerad: 11 jan 2019 17:46

Differentialekvationen är separabel och kan skrivas

    1f(x)1-ndf(x)=1k(n+1)dx ,  x0\displaystyle\int \frac{1}{f(x)^{1-n}}\,df(x) = \int \frac{1}{k(n+1)}\,dx\ , \quad x\geq 0.

Om 1-n11-n\neq 1 så är ekvationen samma sak som

    1nf(x)n=C+xk(n+1);\frac{1}{n}f(x)^{n} = C + \frac{x}{k(n+1)};

annars är ekvationen samma sak som

    f'(x)-1k(n+1)f(x)=0 ,  x0.f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x) = 0\ , \quad x\geq 0.

Om n0n\neq 0 så ger kravet f(0)=0f(0) = 0 att C=0C = 0 och kravet f(1)=1f(1) = 1 bestämmer konstanten kk.

Om n=0n=0 så är funktionen f(x)=Cexk(n+1)f(x) = Ce^{\frac{x}{k(n+1)}} (för x0x\geq 0) och kravet f(0)=0f(0) = 0 ger kravet C=0C = 0, så funktionen f(x)=0f(x) = 0 för alla xx; kravet f(1)=1f(1) = 1 kan alltså inte uppfyllas. Därför kan fallet n=0n=0 inte uppstå.

Dude.96 39 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 17:45
Albiki skrev:

Hej!

Texten säger att integralen 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt ska vara proportionell mot funktionen f(x)n+1.f(x)^{n+1}.

    0xf(t)dt=k·f(x)n+1 ,  x0.\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    f(x)=k·(n+1)f(x)n·f'(x)f'(x)-1k(n+1)f(x)1-n=0 ,  x>0.f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.

 Kan ni visa hur ni tänker? Jag kommer ingenstans!!

Dude.96 39 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 17:50
Albiki skrev:

Differentialekvationen är separabel och kan skrivas

    1f(x)1-ndf(x)=1k(n+1)dx ,  x0\displaystyle\int \frac{1}{f(x)^{1-n}}\,df(x) = \int \frac{1}{k(n+1)}\,dx\ , \quad x\geq 0.

Om 1-n11-n\neq 1 så är ekvationen samma sak som

    1nf(x)n=C+xk(n+1);\frac{1}{n}f(x)^{n} = C + \frac{x}{k(n+1)};

annars är ekvationen samma sak som

    f'(x)-1k(n+1)f(x)=0 ,  x0.f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x) = 0\ , \quad x\geq 0.

Om n0n\neq 0 så ger kravet f(0)=0f(0) = 0 att C=0C = 0 och kravet f(1)=1f(1) = 1 bestämmer konstanten kk.

Om n=0n=0 så är funktionen f(x)=Cexk(n+1)f(x) = Ce^{\frac{x}{k(n+1)}} (för x0x\geq 0) och kravet f(0)=0f(0) = 0 ger kravet C=0C = 0, så funktionen f(x)=0f(x) = 0 för alla xx; kravet f(1)=1f(1) = 1 kan alltså inte uppfyllas. Därför kan fallet n=0n=0 inte uppstå.

 Oki nu känns det lite mer tydligare. Jag måste sitta o lugn och ro och försöka fatta detta steg för steg!

Tack för hjälpen i alla fall!

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 11 jan 2019 17:50
Dude.96 skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Texten säger att integralen 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt ska vara proportionell mot funktionen f(x)n+1.f(x)^{n+1}.

    0xf(t)dt=k·f(x)n+1 ,  x0.\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    f(x)=k·(n+1)f(x)n·f'(x)f'(x)-1k(n+1)f(x)1-n=0 ,  x>0.f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.

 Kan ni visa hur ni tänker? Jag kommer ingenstans!!

  •  Om du deriverar 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt med avseende på xx så får du f(x)f(x). Detta är Integralkalylens fundamentalsats.
  • Om du deriverar f(x)n+1f(x)^{n+1} med avseende på x så får du (n+1)f(x)n·f'(x)(n+1)f(x)^{n}\cdot f'(x). Detta är Kedjeregeln.
Svara
Close