Differentialekvation

Det är omöjligt för en funktion att uppfylla både $y(0)=1$ och $y(0)=0$ samtidigt. Jag gissar att en av dessa egentligen skall vara $y'(0)$, men det måste du rätta till för att det skall gå att säga om du gjort rätt eller fel.

Naturligtvis ska det vara y’(0)=0, men det behövs egentligen inte. Mitt fel ligger förmodligen i att få fram partikulärlösningen.

Plopp99 skrev:

Naturligtvis ska det vara y’(0)=0, men det behövs egentligen inte. Mitt fel ligger förmodligen i att få fram partikulärlösningen.

 Det har du rätt i. Jag ser ju inte din uträkning, så jag vet inte vad som gått snett, men på slutet borde du med din ansats få:

$2ae^{-x}=xe^{-x}$

Detta går inte att lösa så att det gäller för alla $x$, alltså är ansatsen fel. Du måste ha med en $x^3$-term.

Ett annat elegantare lösningsalternativ är att ansätta $y_p=ze^{-x}$ där $z$ är en okänd funktion av $x$. Sätter du in det får du fram en enklare differentialekvation för att bestämma $z$ som i sin tur ger dig hela lösningen i ett svep (d.v.s. du slipper dela upp i homogen- och partikulärlösning).

Ja men vad klumpigt av mig. I homogen lösningen fanns ju, ”e^[-x](C(1)x men även i min ansats som ”bxe^(-x)”. Tack så mycket för iaktagaelsen. Jag återkommer imorgon angående mina framsteg i uppgiften. Tack för dina svar.

Nää.. Det gick inte det här heller. 

Ja, vi gick igenom den ansättningen idag på föreläsningen. Dock behöver jag kolla igenom den typen av ansättningar lite till för att bli bekväm med dom, (y(p)=ze^e(-x)). 

Tips?

Jag begriper ingenting av det som står efter det överstrukna. Varifrån kommer dessa termer? Är detta $y''+2y'+y$? (I sådana fall är det fel)

Du bör på slutet få:

$(6ax+2b)e^{-x}=xe^{-x}$

vilket du kan lösa och få fram en partikulärlösning.

Jo, absolut, gäller ju bara att komma dit. Ja, jag deriverade den ansättningen som jag gjorde, y(p)=(ax^3+bx^2)e^[-x] för att få fram y(p)’ och y’’. Okej, jag missade att missade att multiplicera in tvåan på rad 4 där det är överstryket och lägga in ett minustecken på första raden, sista tecknet. Då är vi båda i mål. (Tom. detta steg.)

Sen, a=1/6 och b=0. 

Löste uppgiften med villkoren. Tack.

Plopp99 skrev:

Löste uppgiften med villkoren. Tack.

 Bra! Så här hade det sett ut med ansättningen $y=ze^{-x}$:

$y=ze^{-x}$

$y'=z'e^{-x}-ze^{-x}$

$y''=z''e^{-x}-z'e^{-x}-z'e^{-x}+ze^{-x}=z''e^{-x}-2z'e^{-x}+ze^{-x}$

Insättning i $y''+2y'+y=xe^{-x}$ ger:

$z''e^{-x}-2z'e^{-x}+ze^{-x}+2(z'e^{-x}-ze^{-x})+ze^{-x}=xe^{-x}$

vilket kan avsevärt förenklas till

$z''e^{-x}=xe^{-x}$

Delas båda led med $e^{-x}$ får man:

$z''=x$

Integrerar man båda led två gånger får man sedan fram $z$:

$\displaystyle\int z''\ dx=\int x\ dx$

$z'=\dfrac{x^2}{2}+A$

$\displaystyle\int z'\ dx=\int\frac{x^2}{2}+A\ dx$

$z=\dfrac{x^3}{6}+Ax+B$

Detta ger således att

$y=(\dfrac{x^3}{6}+Ax+B)e^{-x}$

är den allmänna lösningen till differentialekvationen. ($A$ och $B$ är godtyckliga konstanter)

Du kan bestämma konstanterna med begynnelsevillkoren.