differentialekvation

Hej

jag behöver lite hjälp med ett steg i beräkningen av uppgiften:

Hitta den generella lösningen till differentialevkationen $\frac{d y}{d x} - 2 y - \frac{1}{1 + e^{- 2 x}} = 0$

I svaret har man satt p(x)=-2 och $e^{μ x} = e^{- 2 x}$ och multiplicerat ekvationen med $e^{- 2 x}$

Då får man $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y - \frac{e^{- 2 x}}{1 + e^{- 2 x}} = 0$ men sedan ska detta bli $\frac{d}{d x} (e^{- 2 x} y) = \frac{e^{- 2 x}}{1 + e^{- 2 x}}$

jag är med på HL men jag förstår inte riktigt VL, varför har vi inte kvar -2 faktorn framför e^-2x? och vad händer med $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x}$ så att det blir $\frac{d}{d x}$ ?

Det kallas för att använda integrerande faktor, det beskrivs här:

https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/differentialekvationer/integrerande-faktor

Vad det går ut på är att använda produktregeln baklänges. Det är ju nämligen så att

$\dfrac{d}{dx}[e^{-2x}y]=e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}-2e^{-2x}y$

Det är lite klurigt att se direkt, men vi har ju faktiskt detta i VL, och då kan vi byta ut det mot derivatan av $e^{-2x}y$ .

Svara