differentialekvation

Hej

jag har en uppgift där jag har två funderingar som jag inte riktigt förstår.

Uppgiften är att lösa differentialekvationen:

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x - y}$ jag började med att sätta y=vx och får då $v + x \frac{d v}{d x} = \frac{x (1 + v)}{x (1 - v)}$ och sedan $x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v^{2}}{1 - v}$

jag börjar sedan med att integrera och ska få $\int \frac{1 - v}{1 + v^{2}} d v = \int \frac{d x}{x}$ men varför ändrar man täljare och nämnare så det blir omvänt här?

sedan får vi $a r c \tan v - \frac{1}{2} \ln (1 + v^{2}) = \ln |x| + C$ och sätter sedan in värdet för v och får $a r c \tan (\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln (\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}) = \ln |x| + C$

men sedan i sist steget när man ska multiplicera med 2 så ska svaret bli $2 a r c \tan (\frac{y}{x}) - \ln (x^{2} + y^{2}) = C$ men var tar lnx vägen i HL och x^2 i nämnaren i VL vägen?

Multiplicera båda leden (formellt) med $dx$ . Multiplicera båda leden med $1-v$ . Dividera båda leden med $x$ . Dividera båda leden med $1+x^2$ . Sätt på integraltecken på båda sidor. Klart. Du vill ju ha $dv$ och $dx$ på var sin sida om likhetstecknet.

Den här logaritmlagen $lg\, x^p=p\cdot lg\, x$ och den här $lg \frac{x}{y}=lg\,x-lg\, y$ använder du för den sista förenklingen du nämner.

Man kan skriva

$\frac{x+y}{x-y} = 1 + 2\frac{y}{x-y} = 1+\frac{2}{z-1}$ där jag definierat $z(x) = x/y(x)$ .

Kedjeregeln ger $dy/dx = dy/dz\cdot dz/dx = (1/y) dy/dz$ så att differentialekvationen kan skrivas

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dz} = 1 + \frac{2}{z-1} \iff \int \frac{1}{y}dy = \int 1+\frac{2}{z-1} dz$ .

Svara