differentialekvation

Hej

jag har en uppgift där jag kommit en bit påväg men behöver hjälp med att lösa en ekvation.

Uppgiften är:

Visa att y=x är en lösning till $x^{2} y'' + 2 x y' - 2 y = 0$ i intervallet $(0, \infty)$

jag fick den generella lösningen som $x^{2} (x v'' + 4 v')$ och detta ska stämma om man sätter v`=w och om $x w' + 4 w = 0$

Ekvationen xw`+4w=0 har jag sedan problem med att lösa, den ska bli v`=w= $- 3 C_{1} x^{- 4}$ och sedan v= $C_{1} x^{- 3} + C_{2}$

men jag förstår inte hur man ska komma dit.

Ska man börja med att dela med 4 och få $\frac{x w'}{4} + w = 0$

Ska du bara visa att y = x är en lösning?

ja uppgiften är att visa att Y=x är en lösning, och det slutliga svaret ska bli y=xv= $C_{1} x^{- 2} + C_{2} x$

Om uppgiften är att visa att y=x är en lösnig till en viss diffekvation så skall du bara derivera den 2 ggr soch sätta in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Att ta fram den fullständiga lösningen till diffekvationen i fråga är en helt annan uppgift.

okej, jag såg att man även skulle ange den generella lösningen på intervallet också, därav den fullständiga lösningen.

För att lösa xw'+4w=0 kan du separera variablerna: få x på ena sidan och w (prim och inte) på andra sidan.

Varifrån kommer v?

Men för att visa att y=x är en lösning behöver du inte hitta alla lösningar, det är bara att sätta in.

Det stod som tips att sätta $y_{1} = x v (x)$

okej ska vi då ta xw`=-4w och sedan dela båda led med w` och få $x = - \frac{4 w}{w'}$

Nu vill vi integrera. Ser det ut som om högerledet är derivatan av nånting, eventuellt efter nån liten omformning?

kan man skriva det som -4/xdx och få -4lnx+c och slutligen $w (x) = C_{1} * x^{- 4}$

Lösningen till uppgiften ska efter detta steg vara att man får:

$x^{2} v'' + 2 x y' - 2 y = 0$ , givet w=v` uppfyller xw`+4w=0.

Ekvationen har lösningen v`=w= $- 3 C_{1} x^{- 4}$

v= $C_{1} x^{- 3} + C_{2}$ och differentialekvationen har lösningen $y = x v = C_{1} x^{- 2} + C_{2} x$

Hej!

Ekvationen $x^2y''(x)+2xy'(x)+(-2)y(x)=0$ är ett exempel på en Eulerekvation av andra ordningen. En sådan ekvation löses med hjälp av variabelsubstitutionen $x = e^{t}$ som omvandlar den till en ekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter.

Inför beteckningen $u(t) = y(x(t))$ vilket ger ekvationen $u''(t) + u'(x) - u(t) = 0$ vars lösningar är

$u(t)=A(e^{t})^{(-1+\sqrt{5})/2}+B(e^{t})^{-(1+\sqrt{5})/2}$ .

Dessa motsvarar lösningarna

$y(x) = Ax^{(-1+\sqrt{5})/2}+Bx^{-(1+\sqrt{5})/2}$ .

Det gäller nu att välja konstanterna $A$ och $B$ så att $y(x)> 0$ för alla $x>0$ .

K.Ivanovitj skrev:
kan man skriva det som -4/xdx och få -4lnx+c och slutligen $w (x) = C_{1} * x^{- 4}$

Ja, men det framgår inte vad du gör med högerledet.

Svara

Visa senaste svar