11 svar
102 visningar
K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 sep 2018 20:29

differentialekvation

Hej

jag har en uppgift där jag kommit en bit påväg men behöver hjälp med att lösa en ekvation.

Uppgiften är:

Visa att y=x är en lösning till x2y''+2xy'-2y=0 i intervallet 0, 

jag fick den generella lösningen som x2xv''+4v' och detta ska stämma om man sätter v`=w och om xw'+4w=0

Ekvationen xw`+4w=0 har jag sedan problem med att lösa, den ska bli v`=w=-3C1x-4  och sedan v=C1x-3+C2

men jag förstår inte hur man ska komma dit.

Ska man börja med att dela med 4 och få xw'4+w=0 

Laguna 30218
Postad: 23 sep 2018 20:31

Ska du bara visa att y = x är en lösning?

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 sep 2018 20:38

ja uppgiften är att visa att Y=x är en lösning, och det slutliga svaret ska bli y=xv=C1x-2+C2x

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 23 sep 2018 20:51

Om uppgiften är att visa att y=x är en lösnig till en viss diffekvation så skall du bara derivera den 2 ggr soch sätta in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Att ta fram den fullständiga lösningen till diffekvationen i fråga är en helt annan uppgift.

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 sep 2018 20:53

okej, jag såg att man även skulle ange den generella lösningen på intervallet också, därav den fullständiga lösningen.

Laguna 30218
Postad: 23 sep 2018 20:53

För att lösa xw'+4w=0 kan du separera variablerna: få x på ena sidan och w (prim och inte) på andra sidan.

 

Varifrån kommer v?

 

Men för att visa att y=x är en lösning behöver du inte hitta alla lösningar, det är bara att sätta in.

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 sep 2018 21:16 Redigerad: 23 sep 2018 21:22

Det stod som tips att sätta y1=xvx

okej ska vi då ta xw`=-4w och sedan dela båda led med w` och få x=-4ww' 

Laguna 30218
Postad: 23 sep 2018 21:28

Nu vill vi integrera. Ser det ut som om högerledet är derivatan av nånting, eventuellt efter nån liten omformning?

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 sep 2018 21:58

kan man skriva det som -4/xdx och få -4lnx+c och slutligen wx=C1*x-4

K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 23 sep 2018 22:20

Lösningen till uppgiften ska efter detta steg vara att man får:

x2v''+2xy'-2y=0 , givet w=v` uppfyller xw`+4w=0.

Ekvationen har lösningen v`=w=-3C1x-4

v=C1x-3+C2 och differentialekvationen har lösningen y=xv=C1x-2+C2x

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2018 01:37 Redigerad: 24 sep 2018 08:11

Hej!

Ekvationen x2y''(x)+2xy'(x)+(-2)y(x)=0x^2y''(x)+2xy'(x)+(-2)y(x)=0 är ett exempel på en Eulerekvation av andra ordningen. En sådan ekvation löses med hjälp av variabelsubstitutionen x=etx = e^{t} som omvandlar den till en ekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter.

Inför beteckningen u(t)=y(x(t))u(t) = y(x(t)) vilket ger ekvationen u''(t)+u'(x)-u(t)=0u''(t) + u'(x) - u(t) = 0 vars lösningar är

    u(t)=A(et)(-1+5)/2+B(et)-(1+5)/2u(t)=A(e^{t})^{(-1+\sqrt{5})/2}+B(e^{t})^{-(1+\sqrt{5})/2}.

Dessa motsvarar lösningarna

    y(x)=Ax(-1+5)/2+Bx-(1+5)/2y(x) = Ax^{(-1+\sqrt{5})/2}+Bx^{-(1+\sqrt{5})/2}.

Det gäller nu att välja konstanterna AA och BB så att y(x)>0y(x)> 0 för alla x>0x>0.

Laguna 30218
Postad: 24 sep 2018 07:29
K.Ivanovitj skrev:

kan man skriva det som -4/xdx och få -4lnx+c och slutligen wx=C1*x-4

 Ja, men det framgår inte vad du gör med högerledet.

Svara
Close