Differentialekvation 1

Felet du gör är att du börjar lösa diffekvationen istället för att bara pröva vilken av de föreslagna lösningarna som stämmer.

Se svar i din andra tråd som hade en liknande uppgift.

Vilken metod ska jag använda för att derivera alternativen? Blir så förvirrad när de är flera olika paranteser

Produktregeln. Om f = g•h sä är f' = g'h+gh'.

Sätt g = e^x och h till det som står innanför parenteserna I de olika fallen.

Såhär? Och hur deriverar jag (csin(2^1-8x)?

Nej, så här:

Funktionen h är en summa av två sammansatta funktioner, så du måste använda kedjeregeln för att derivera h.

Skulle du kunna visa hur man gör de på första? Förstod så bra när du visade på den andra tråden men här är det så mycket mer siffror

Du vill derivera $h=C\sin(2^{\frac{x}{2}})+D\cos(2^{\frac{x}{2}})$

Ta en komponent i taget så blr det inte så mycket att hålla reda på.

$\sin(2^{\frac{x}{2}})$ är en sammansatt funktion, där den yttre funktionen är sinus och den inre funktionen är $2^{\frac{x}{2}}$.

Derivatan av den yttre funktionen är cosinus och derivatan av den inre funktionen är $2^{\frac{x}{2}}\cdot\ln{2}\cdot\frac{1}{2}$.

Derivatan av den första termen i $h$ är alltså $C\cos(2^{\frac{x}{2}})\cdot2^{\frac{x}{2}}\cdot\ln{2}\cdot\frac{1}{2}$.

Gör på samma sätt med den andra termen.

Aha, jag inser nu att $x$ inte är i exponenten. Det ska alltså stå $\sin(2^{1/2}\cdot x)$ och inte $\sin(2^{1/2\cdot x})$.

Då blir det lite lättare.

Derivatan av $\sin(ax)$ är ju $a\cdot\cos(ax)$ så derivatan av $h$ blir $C\cdot\sqrt{2}\cdot\cos(\sqrt{2}x)-D\cdot\sqrt{2}\cdot\sin(\sqrt{2}x)$.

Men i det här fallet kanske det ändå är snabbare att lösa diffekvationen som du började med i inledningen:

Diffekvationen är $y''-2y'+3y=0$

Karakteristiska ekvationen är $r^2-2r+3=0$, med de två lösningarna $r=1\pm i\sqrt{2}$.

Det ger den allmänna lösningen $y=e^x\cdot(A\cos(\sqrt{2}x)+B\sin(\sqrt{2}x))$, där $A$ och $B$ är konstanter.

Det ger dig direkt rätt svar.

Jag förstår hur du räknade fram det, då är alltså b) rädd pga 2^1/2 är samma sak som roten ur 2?

Ja, det stämmer.

Ser du varför jag missförstod uppgiften?