Differentialekv med e

Är det helt fel eller?

Du skriver så kortfattat att det är svårt att förstå vad du gör i varje steg. Om du beskriver vad du gör lite mer (men inte pratigt eller så) finns det en chans att du skulle få mer svar.

Nu ansätter du en lösning till den homogena diffekvationen på rad 3, men är det på den tredje raden den homogena lösningen när du har bestämt A och B?

Har du tagit fram någon partikulärlösnng? Var i så fall?

Låt mig föklara lite mer ingående, uppgiften lyder:

Lös begynnelsevärdeproblemet

$$\begin{gathered} y\left(0\right)=y\text{'}\left(0\right)=0 \\ y\text{'}\text{'}-2y\text{'}+y=2e^x \end{gathered}$$

Eftersom ekv. är inhomogen så måste vi addera den homogena lösningen med den partikulära för att lösa y dvs. y = y_h + y_p 

Vi börjar med att lösa den homogena delen genom att titta på den karakteristiska ekv:

$$\begin{gathered} r^2-2r+1=0 \\ r=1 \end{gathered}$$

Eftersom vi bara fick ett r-värde så gäller följande lösning:

$y_h=e^x(Ax+B)$

Nu kan vi börja lösa den partikulära delen y_p. Eftersom vi har e^x i högerledet måste vi först reducera det till ett polynom. Vi gör det genom att införa en funktion z(x) och göra substitution:

$z\left(x\right)=e^{-ax}y\left(x\right) dvs. y\left(x\right)=e^{ax}z\left(x\right)$

Om man skriver om vänsterledet med z(x) så ska man först beräkna y' och y'' och då får man:

$$\begin{gathered} y=z{e}^x \\ y\text{'}=z\text{'}{e}^x+z{e}^x \\ y\text{'}\text{'}=z\text{'}\text{'}{e}^x+2z\text{'}{e}^x+z{e}^x \end{gathered}$$

Nu kan man skriva om vänsterledet till:

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}-2y\text{'}+y=2e^x \\ (z\text{'}\text{'}{e}^x+2z\text{'}{e}^x+z{e}^x) - 2(z\text{'}{e}^x+z{e}^x) + e^{x}z =\hspace{0.17em}2e^{x}z \end{gathered}$$

Efter förenkling har vi kvar:

$z\text{'}\text{'}=2$

Jag är lite osäker på hur man kommer vidare.

Är det fortfarande oklart?

I det första inlägget skriver du att $z''-z'=2$ och i ditt senare inlägg skriver du att $z''=2$. Vilket skall det vara?

Om jag minns det här rätt (vilket inte alls är säkert, det var väääldigt länge sedan) så borde man lösa den karakteristiska ekvationen för den nya diffekvationen, vilken av dem det nu är.