Differentiala ekvationer
När man ska hitta en lösning t.ex. en differential ekvation där Ay'' + By' +Cy= 2e^2x
Vad ska min ansats vara för att hitta partikulära lösningen?
Det beror på vad A, B och C är, men du har en konstant gånger e^2x så ansätt samma sak, alltså k*e^2x. Funkar det inte får du lägga till ett x också, till kx*e^2x
Om vi säger att y''-6y'+9= 2e^3x, ska inte ansatsen då vara De^3x
l
Om du skriver om y"-6y'+9 som ett polynom får du r^2-6r+9=(r-3)^2, 3 är alltså en dubbelrot. Det betyder att din ansats kommer krocka 2 gånger med den homogena lösningen (två ggr pga dubbelrot, och din ansats hör också ihop med samma rot eftersom du vill ha just 3x i exponenten), så du behöver gångra på ett x två gånger på hela din annars planerade ansats. Så D*x^2*e^3x.
Micimacko skrev:Om du skriver om y"-6y'+9 som ett polynom får du r^2-6r+9=(r-3)^2, 3 är alltså en dubbelrot. Det betyder att din ansats kommer krocka 2 gånger med den homogena lösningen (två ggr pga dubbelrot, och din ansats hör också ihop med samma rot eftersom du vill ha just 3x i exponenten), så du behöver gångra på ett x två gånger på hela din annars planerade ansats. Så D*x^2*e^3x.
Jag förstår inte? Vad menar du?
Vilken del är det du inte förstår?
Micimacko skrev:Det betyder att din ansats kommer krocka 2 gånger med den homogena lösningen (två ggr pga dubbelrot, och din ansats hör också ihop med samma rot eftersom du vill ha just 3x i exponenten),
Varför ska min ansats vara 2 gånger min homogena lösning?
Det ska den inte. Den ska matcha din högersida. Men du måste också kolla på din homogena lösning, om din ansats redan finns i din homogena lösning behöver du flytta ansatsen, så att de inte krockar. Det gör man genom att lägga på ett x.
Din homogena lösning är Ce^3x+D*x*e^3x, så de kan inte användas som ansats. Då flyttar vi vidare till nästa, A*x^2*e^3x, och den ser vi inte krockar med något, så då har vi flyttat färdigt.
