differential ekvationer

Cylindern skärs med ett plan som man t.ex kan låta ha ekvationen

$z(x,y) =\dfrac{hx}{r}$

Välkommen till Pluggakuten =)

Hur jag tänker: vätskeytan går från mynningen till mitten av glasets botten. Formen på själva vätskekroppen blir då som en massa hopsatta cirkelsegment, och en rätvinklig triangel sett från sidan:

Ett volymelement kan då uttryckas $dV = A_c(x)\, dx$, där $A_c$ är arean av cirkelsegmentet på position x och dx är tjockleken. För att integrera detta från x=0 till x=h behöver du alltså hitta ett uttryck för cirkelsegmentets area i variabeln x.

Du kan också göra ett variabelbyte. Den formel jag hittar för cirkelsegmentets area använder medelpunktsvinkeln v, du skulle också kunna integrera med v som integrationsvariabel. 

Kan du förklara varför du använder av Ac? Hur skall man tänka?

Du är nog bekant med skivmetoden för att räkna på rotationsvolymer. Man skivar upp kroppen, gör ett uttryck för volymen av en sån skiva och integrerar:

I bilden är det väldigt tjocka skivor, man får tänka att de är oändligt tunna istället så att de kan betraktas som väldigt tunna cylindrar. Volymen av en sån skiva är då dess tvärsnittsarea $A(x)$ gånger tjockleken dx. Integrera från x=a till x=b. Volymen blir alltså:

$\displaystyle V = \int_a^b A(x)\, dx$

Och eftersom skivorna är cirkulära kan tvärsnittsarean beskrivas $A(x) = \pi f(x)^2$, där f(x) alltså är linjen i figuren som utgör cirklarnas radie.

Allt det är repetition, hoppas jag. Samma princip använder jag i din uppgift. Skillnaden är att skivorna inte blir cirkulära, utan cirkelsegment. De har alltså en annan areaformel. Men den övergripande tanken är samma: tvärsnittsarea gånger tjocklek, integrera.

$\displaystyle V = \int_0^h A(x)\, dx$

Det går mha enkel geometri att visa att volymen öl i glaset under omständigheterna utgör en halvkon. Dess volym med uppgifternas beteckning är

 $\frac{{\displaystyle \frac{{\mathrm{\pi r}}^2*\mathrm{d}}{3}}}{2}=\frac{{\mathrm{\pi r}}^2*\sqrt{h^2+r^2}}{6}$

oneplusone2 skrev:

Det går mha enkel geometri att visa att volymen öl i glaset under omständigheterna utgör en halvkon. Dess volym med uppgifternas beteckning är

 $\frac{{\displaystyle \frac{{\mathrm{\pi r}}^2*\mathrm{d}}{3}}}{2}=\frac{{\mathrm{\pi r}}^2*\sqrt{h^2+r^2}}{6}$

En av oss tänker fel här... och det kan mycket väl vara jag. Men jag är inte säker på att det är en halv kon. Tvärsnitten är ju inte halvcirklar (förutom precis i botten av glaset)? Och $\sqrt{h^2+r^2}$ är väl längden av vattenytan - hur kan det vara konens höjd när den inte är vinkelrät mot basytan? Missar jag något?

Jag håller med Skaft, inte oneplusone2. Kolla själv genom att fylla ett glas (det mest cylindriska man har!) och häll ut tills det stämmer ned beskrivningen i uppgiften.