Differential ekvation, separabel,

MiniMe skrev:

Hej

Jag har;

dy/dx = y/2x

Vi skriver om;

dy/y = dx/2x

Integrerar båda sidor och får;

ln(y) = ln(x)/2 + c

ln(y) = ln(x^0.5)+c

vi höjer upp båda sidor med e

y = e^(ln(x^0.5)+c)

y = x^(0.5)*e^c

Vi sätter nu e^c som en konstant, vi kallar den D

y = x^0.5* D

Boken säger dock y^2 = x*d  (Det är samma sak, antar jag. Är lite förvirrad)

Ja det är samma sak.

Det jag undrar är dock, ska vi inte nu kunna derivera y = x^05*D och få dy/dx = y/2x?

y' = D(x^0.5*D)

y'= D/(2x^0.5)

Det verkar inte så, hur kommer detta sig? Jag må ha fått något om bakfoten angående detta!

Mvh Minime

Om $y=D\cdot x^{0,5}$ så är $VL=\frac{dy}{dx}=0,5D\cdot x^{-0,5}$.

Och $HL=\frac{y}{2x}=\frac{D\cdot x^{0,5}}{2x}=0,5D\cdot x^{-0,5}$

$VL=HL$ som sig bör.

Yngve skrev:

MiniMe skrev:

Hej

Jag har;

dy/dx = y/2x

Vi skriver om;

dy/y = dx/2x

Integrerar båda sidor och får;

ln(y) = ln(x)/2 + c

ln(y) = ln(x^0.5)+c

vi höjer upp båda sidor med e

y = e^(ln(x^0.5)+c)

y = x^(0.5)*e^c

Vi sätter nu e^c som en konstant, vi kallar den D

y = x^0.5* D

Boken säger dock y^2 = x*d  (Det är samma sak, antar jag. Är lite förvirrad)

Ja det är samma sak.

Det jag undrar är dock, ska vi inte nu kunna derivera y = x^05*D och få dy/dx = y/2x?

y' = D(x^0.5*D)

y'= D/(2x^0.5)

Det verkar inte så, hur kommer detta sig? Jag må ha fått något om bakfoten angående detta!

Mvh Minime

Om $y=D\cdot x^{0,5}$ så är $VL=\frac{dy}{dx}=0,5D\cdot x^{-0,5}$.

Och $HL=\frac{y}{2x}=\frac{D\cdot x^{0,5}}{2x}=0,5D\cdot x^{-0,5}$

$VL=HL$ som sig bör.

 naturligtvis, tackar!

Det du skriver är väldigt svårläst, eftersom du inte använder formelskrivaren (du hittar den genom att klicka på rotenur-tecknet längst upp till höger i inskrivningsruten - dyvärr funkar det inte på mobilen), så jag får skriva om och se om det blir begripligt.

Du utgår ifrån diffekvationen $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$ och skriver om den till $\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$. Sedan integrerar du båda sidor och får $\ln(y)=\frac{\ln(x)}{2}+c$, som även kan skrivas $\ln(y)=\ln(x^{\frac{1}{2}})+c$.

Sedan skriver du att du upphöjer båda sidor med $e$, men som tur är, är det inte det du gör utan du tar $e$ upphöjt till vardera ledet - så som du skrev skulle $e$ ha varit exponenten. Du får fram att $y=x^{0,5}\cdot e^c=x^{0,5}\cdot D=\sqrt{x}\cdot D$.

Boken säger dock y^2 = x*d (Det är samma sak, antar jag. Är lite förvirrad)

Boken kvadrerar alltså båda led och byter namn på konstanten från $D^2$ till $d$. Att $\sqrt{x}^2=x$ lärde du dig redan i Ma1.

Du har alltså att $y=D\sqrt{x}=D\cdot x^{\frac{1}{2}}$, så $y'=\frac{D}{2}\cdot x^{\frac{-1}{2}}=\frac{D}{2\sqrt{x}}$.

Sätt in i den ursprungliga diffekvationen: $VL=\frac{dy}{dx}=y'=\frac{D}{2\sqrt{x}}$. $HL=\frac{y}{2x}=\frac{D\cdot\sqrt{x}}{2x}=\frac{D}{2\sqrt{x}}$. VL=HL.

Smaragdalena skrev:

Det du skriver är väldigt svårläst, eftersom du inte använder formelskrivaren (du hittar den genom att klicka på rotenur-tecknet längst upp till höger i inskrivningsruten - dyvärr funkar det inte på mobilen), så jag får skriva om och se om det blir begripligt.

Du utgår ifrån diffekvationen $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$ och skriver om den till $\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$. Sedan integrerar du båda sidor och får $\ln(y)=\frac{\ln(x)}{2}+c$, som även kan skrivas $\ln(y)=\ln(x^{\frac{1}{2}})+c$.

Sedan skriver du att du upphöjer båda sidor med $e$, men som tur är, är det inte det du gör utan du tar $e$ upphöjt till vardera ledet - så som du skrev skulle $e$ ha varit exponenten. Du får fram att $y=x^{0,5}\cdot e^c=x^{0,5}\cdot D=\sqrt{x}\cdot D$.

Boken säger dock y^2 = x*d (Det är samma sak, antar jag. Är lite förvirrad)

Boken kvadrerar alltså båda led och byter namn på konstanten från $D^2$ till $d$. Att $\sqrt{x}^2=x$ lärde du dig redan i Ma1.

Du har alltså att $y=D\sqrt{x}=D\cdot x^{\frac{1}{2}}$, så $y'=\frac{D}{2}\cdot x^{\frac{-1}{2}}=\frac{D}{2\sqrt{x}}$.

Sätt in i den ursprungliga diffekvationen: $VL=\frac{dy}{dx}=y'=\frac{D}{2\sqrt{x}}$. $HL=\frac{y}{2x}=\frac{D\cdot\sqrt{x}}{2x}=\frac{D}{2\sqrt{x}}$. VL=HL.

 Tack för tipset Smaragdalena. Hädanefter ska jag använda formelskrivaren. 

Angående reprimanden.  Jag misstänkte att det var så.

Mvh Minime